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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:53 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Matrix22 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Tangentialvektor im Punkt (x(t0), y(t0)) an folgende parametisierte ebene Kurven:
die Kardiode x(t)= 4cos(t)-2cos(t), y(t)=4sin(t)-2sin(2t)
An welche Punkten der Kurve könne sie keine eindeutige positive Normalrichtung ermitteln?
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Servus,
diese Aufgabe haben wir schnell in der Uni besprochen bin da nicht so gut mitgekommen aber hier erst einmal die Lösung von der Tafel:
x(t)=4coc(t)-2cos(t)= 4 ( cos(t)-1/2cos(2t)
y (t)=4sin(t)-2sin(2t)
[mm] \begin{pmatrix}
x & (t) \\
y & (t)
\end{pmatrix} [/mm] = Hier fand jetz einfach nur die Ableitung statt.
[mm] \begin{pmatrix}
-4sin(t)+4sin(2t) \\
4cos(t)-4cos(2t)
\end{pmatrix} [/mm]
Betrachte: [mm] \dot [/mm] x(t)= 0 = sin(t)=sin(2t)
= sin(t)=2*sin(t)*cos(t)
= sin(t) (1-2cos(t))=0 Diesen lezten Schritt der Umwandlung verstehe ich nicht, woher kommt die 1, also 1-2cos?
Gleichung ist erfüllt wenn t= K*P(3,14), KeZ
Kann mir jemand bischen was dazu sagen vieleicht irgendwelche wichtigen VOKABELN dich ich wissen sollte. Die lezte Umformung habe ich nicht verstanden? Was bedeutet Gleichung ist erfüllt wenn t = K*P(3,14), KeZ ,
kann mir das jemand ii Worten erklären?
Und dann steht da noch die lezte FRage,An welche Punkten der Kurve könne sie keine eindeutige positive Normalrichtung ermitteln, d,h. da wo ich keine Tangente anlegen kann oder wie ist das gemeint?
Ich würde mich über eine Wortreiche erklärung freuen.
Gruss Matrix22
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Hallo Matrix22,
eine Teilantwort:
> Bestimmen Sie den Tangentialvektor im Punkt (x(t0), y(t0))
> an folgende parametisierte ebene Kurven:
> die Kardiode x(t)= 4cos(t)-2cos(t), y(t)=4sin(t)-2sin(2t)
> An welche Punkten der Kurve könne sie keine eindeutige
> positive Normalrichtung ermitteln?
>
> Servus,
>
> diese Aufgabe haben wir schnell in der Uni besprochen bin
> da nicht so gut mitgekommen aber hier erst einmal die
> Lösung von der Tafel:
>
> x(t)=4coc(t)-2cos(t)= 4 ( cos(t)-1/2cos(2t)
> y (t)=4sin(t)-2sin(2t)
>
> [mm]\begin{pmatrix}
x & (t) \\
y & (t)
\end{pmatrix}[/mm] = Hier
> fand jetz einfach nur die Ableitung statt.
>
> [mm]\begin{pmatrix}
-4sin(t)+4sin(2t) \\
4cos(t)-4cos(2t)
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Betrachte: [mm] $\dot [/mm] x(t)= 0 = sin(t)=sin(2t)$
> =
> sin(t)=2*sin(t)*cos(t)
> = sin(t)
> (1-2cos(t))=0 Diesen lezten Schritt der Umwandlung verstehe
> ich nicht, woher kommt die 1, also 1-2cos?
>
> Gleichung ist erfüllt wenn t= K*P(3,14), KeZ
Puh, du schreibst das ziemlich schmerzfrei auf, stehen dir da nicht die Haare zu Berge, wenn du ein "=" zwischen Gleichungsumformungen schreibst?
Schonmal was von Äquivalenzpfeilen gehört?
Nun, wie dem auch sei:
Zu lösen ist [mm] $\sin(t)=\sin(2t)$
[/mm]
[mm] $\gdw \sin(t)=2\sin(t)\cos(t)$ [/mm] nach Additionstheoremen/Halbwinkelformel
Nun rechne [mm] $-2\sin(t)\cos(t)$ [/mm] auf beiden Seiten:
[mm] $\gdw \sin(t)-2\sin(t)\cos(t)=0$
[/mm]
Nun [mm] $\sin(t)$ [/mm] ausklammern:
[mm] $\gdw \sin(t)\cdot{}\big(1-2\cos(t)\big)=0$
[/mm]
Ein Produkt ist =0, gdw einer der Faktoren =0 ist
[mm] $\gdw \sin(t)=0 [/mm] \ \ [mm] \text{oder} [/mm] \ \ [mm] 1-2\cos(t)=0$
[/mm]
Also [mm] $t=k\cdot{}\pi, [/mm] \ [mm] k\in\IZ [/mm] \ \ [mm] \text{oder} [/mm] \ \ [mm] \cos(t)=\frac{1}{2}$ [/mm] ...
>
> Kann mir jemand bischen was dazu sagen vieleicht
> irgendwelche wichtigen VOKABELN dich ich wissen sollte.
Additionstheoreme!
> Die lezte Umformung habe ich nicht verstanden? Was bedeutet
> Gleichung ist erfüllt wenn t = K*P(3,14), KeZ ,
> kann mir das jemand ii Worten erklären?
Der Sinus nimmt an allen ganzzahligen Vielfachen von $pi$ den Wert Null an, das drückt man durch [mm] $k\cdot{}\pi$ [/mm] mit [mm] $k\in\IZ$ [/mm] aus ...
> Und dann steht da noch die lezte FRage,An welche Punkten
> der Kurve könne sie keine eindeutige positive
> Normalrichtung ermitteln, d,h. da wo ich keine Tangente
> anlegen kann oder wie ist das gemeint?
Das lasse ich offen 
> Ich würde mich über eine Wortreiche erklärung freuen.
>
> Gruss Matrix22
>
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Matrix22 |
Vielen Dank hast mir gut weitergeholfen das Stichwort heisst Additionstheoreme werde gleich anfangen zu lesen.
Danke.
Gruss Matrix22
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