Tanzabend k Paare sich treffen < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | | An einer Tanzveranstaltung nehmen n Ehepaare teil. Die Tanzpartner werden ausgelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass k Ehepaare sich "wieder finden", d.h. zusammen tanzen. |
Hi!
Nach ein wenig Suchen habe ich folgende Formel gefunden, dummerweise war sie aber ohne Beweis angegeben:
[mm] P(n,k)=\vektor{n \\ k}*\bruch{(n-k)!}{n!}*\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^{i}*\bruch{1}{i!}
[/mm]
Ich habe nun versucht diese mir selbst zu erklären, dazu habe ich mir die Formel erstmal etwas umgeschrieben:
P(n,k) = [mm] \vektor{n \\ k}*\bruch{1}{n!}*((n-k)!*\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^{i}*\bruch{1}{i!})
[/mm]
Nun sieht der hintere Teil in den Klammern schonmal sehr nach der Rencontre-Zahl (Anzahl der fixpunktfreien Permutationen) aus.
D.h. dieser Teil gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, dass n-k Paare sich nicht treffen. Dann muss ich noch schauen, dass sich genau k Paare treffen (mehr als k Paare können es nicht sein, da ich ja schon n-k Paare ausgeschlossen habe!). Das entspricht dem k-fachen Ziehen aus n ohne Zurücklegen, also genau [mm] \vektor{n \\ k}
[/mm]
Da es insgesamt n! Permutationen (=Anordnungen) der Ehepaare gibt, muss ich für die Wahrscheinlichkeit durch n! teilen, daher der Faktor [mm] \bruch{1}{n!}
[/mm]
So nun: Ist die Erklärung soweit korrekt?
2. Ist das die gängige Herleitung für dieses Problem, oder geht das auch einfacher? Ich muss sagen, auf diese Formel wäre ich nicht auf anhieb gekommen. Das Erklären der Formel wiederum war dann relativ gut machbar (sofern es korrekt ist).
3. Kann es sein, dass für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] die obrige Formel gegen [mm] \bruch{1}{k!*e} [/mm] geht?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 So 28.11.2010 | | Autor: | Pille456 |
Alles klar, danke!!
Öhm die Poissonverteilung sagt mir nichts, aber ich habe gerade mal den Wiki Artikel dazu überflogen und die Formel [mm] P_\lambda [/mm] (X=k) = [mm] \frac{\lambda^k}{k!}\, \mathrm{e}^{-\lambda} [/mm] sieht meinem Grenzwert für [mm] \lambda [/mm] = 1 doch verdammt ähnlich ;)
Meintest du das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 So 28.11.2010 | | Autor: | luis52 |
> Alles klar, danke!!
>
> Öhm die Poissonverteilung sagt mir nichts, aber ich habe
> gerade mal den Wiki Artikel dazu überflogen und die Formel
> [mm]P_\lambda[/mm] (X=k) = [mm]\frac{\lambda^k}{k!}\, \mathrm{e}^{-\lambda}[/mm]
> sieht meinem Grenzwert für [mm]\lambda[/mm] = 1 doch verdammt
> ähnlich ;)
> Meintest du das?
Genau.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | An einem Tanzabend nehmen n Ehepaare teil. Tanzpartner werden untereinander zugelost. Es tanzt natürlich immer ein Mann mit einer Frau. Hat ein Ehepaar getanzt, so verlässt es das Parkett. Dann werden die übrigen Paare wieder untereinander gelost und tanzen erneut, bis alle Ehepaare das Tanzparkett verlassen habe. Berechnen Sie die Anzahl der zu erwartenden Tänze. |
Heyho!
Ich habe da eine ganz ähnliche Aufgabe...
Also meine Vermutung ist ja, dass der Erwartungswert der Anzahl Tänze gerade n ist und zwar, weil der Erwartungswert von richtig zugeteilten Paaren nach jeweils einer Permutation gerade 1 ist...
Sollte diese Vermutung richtig sein, wie beweis ich das? Ich frag mich auch wie ich das vernünftig modellieren soll. Wie kann denn da ein Wahrscheinlichkeitsraum aussehen und die Zufallsgröße "Tanzanzahl"?
|
|
|
| |
|
Hm, ich bin mir nicht so sicher, ob man das so machen kann (und es viel zu kompliziert wäre), daher nur als Mitteilung:
Also eigentlich musst du ja wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass 1 Tanz, 2 Tänze, 3 usw. durchgeführt werden.
Für genau einen Tanz ist das ja P(n,n) (also k=n in die Formel aus meiner Frage eingesetzt)
Damit genau 2 Tänze ausgeführt werden müssen, musst du nun verschiedene Fälle betrachten:
- Beim 1. Tanz hat sich genau 1 Paar gefunden ( P(n,1) ), im 2 Tanz dann n-1 Paare ( P(n-1,n-1) )
- Beim 1. Tanz haben sich genau 2 Paare gefunden ( P(n,2) ), im 2. Tanz dann n-2 Paare ( P(n-2, n-2) )
- usw.
Also ohne es weiter verfolgt zu haben, erkennt man ja schon ein gewisses Schema. Vielleicht hilft dir das ja als Ansatzpunkt weiter, wobei ich von der Aufgabenstellung her das Gefühl habe, dass man das auch ohne die Formel P(n,k) lösen kann - sofern ihr sie nicht vorher irgendwann mal gehabt habt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Fr 03.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
