Taylor-Entwicklung, O-Notation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 So 04.07.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
irgendwie scheine ich Schwierigkeiten mit der [mm] $\mathcal{O}$-Notation [/mm] (Groß-O-Notation) zu haben und hoffe daher, dass mir hier jemand auf die Sprünge helfen kann.
Problem: Sei [mm] $f\in C^2(\IR^m,\IR^m)$ [/mm] (Vektorfeld !!!), dann ist die Taylor-Entwicklung von $f$ an der Stelle [mm] $0\in\IR^m$ [/mm] bis zur 1. Ordnung gegeben durch
[mm] $f(u)=f(0)+Df(0)u-\int_{0}^{1}(1-s)\cdot D^2f(s\cdot u)\,ds\cdot\left[u,u\right],\quad u\in\IR^m$
[/mm]
Nun nutze ich die Kurzschreibweise [mm] $\left\|u\right\|^2=\left[u,u\right]$. [/mm] Dann gilt für den letzten Summanden
[mm] $-\int_{0}^{1}(1-s)\cdot D^2f(s\cdot u)\,ds\cdot\left\|u\right\|^2=\mathcal{O}\left(\left\|u\right\|^2\right)$
[/mm]
Aber was genau besagt mir diese [mm] $\mathcal{O}$-Notation [/mm] über den Fehlerterm. Genauer: Die [mm] $\mathcal{O}$-Notation [/mm] liefert mir doch eine Ungleichung, aber wie genau sieht diese aus? Die Wikipedia-Seite hilft mir beim Verständnis für dieses spezielle Problem irgendwie nicht weiter.
Ich danke schon einmal.
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Huhu,
Ist dein Restglied in [mm] $\mathcal{O}\left(||u||^2\right)$ [/mm] heißt das, dass es etwa genauso schnell wächst wie [mm] $||u||^2$.
[/mm]
In diesem Fall kannst du also davon ausgehen, dass wenn du den Abstand zum Entwicklungspunkt 0 verdoppelst, dein Fehler sich dann vervierfacht, da [mm] $||2u||^2 [/mm] = [mm] 4||u||^2$ [/mm] ist.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 So 04.07.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Gono,
zunächst vielen Dank für die schnelle Antwort.
> Ist dein Restglied in [mm]\mathcal{O}\left(||u||^2\right)[/mm]
> heißt das, dass es etwa genauso schnell wächst wie
> [mm]||u||^2[/mm].
> In diesem Fall kannst du also davon ausgehen, dass wenn du
> den Abstand zum Entwicklungspunkt 0 verdoppelst, dein
> Fehler sich dann vervierfacht, da [mm]||2u||^2 = 4||u||^2[/mm] ist.
Okay, das schien mir schon vorher klar zu sein. Vielleicht habe ich mich nicht präzise genau ausgedrückt. Ich versuche einen Ausdruck abzuschätzen, der einen nichtlinearen Term enthält. Dabei wird häufig der Ansatz über die Taylorentwicklung gewählt, um das nichtlineare Problem auf ein lineares Problem zurückzuführen. Hierbei fängt man sich jedoch den zusätzlichen Fehlerterm ein, der noch weg zu diskutieren ist. Daher wollte ich wissen, ob mir die [mm] $\mathcal{O}$-Notation [/mm] irgendeine (für mich eventuell hilfreiche) Ungleichung liefert, die mir beim Wegdiskutieren behilflich sein könnte. Vermutlich verwendet man die [mm] $\mathcal{O}$-Notation [/mm] jedoch nur zur "kompakten Schreibweise" der Entwicklung. Oder wie siehst Du das?
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> Daher wollte ich wissen, ob mir die $ [mm] \mathcal{O} [/mm] $-Notation irgendeine (für mich eventuell hilfreiche) Ungleichung liefert, die mir beim Wegdiskutieren behilflich sein könnte.
Naja, die [mm] $\matchal{O}$-Notation [/mm] sagt ja schon aus, dass du das abeschätzt hast. Es ist also eher umgekehrt, du schätzt ab und erhälst die [mm] $\mathcal{O}$-Notation [/mm] und nicht du hast die [mm] $\mathcal{O}$-Notation [/mm] und bekommst eine Abschätzung.
> Vermutlich verwendet man die $ [mm] \mathcal{O} [/mm] $-Notation jedoch nur zur "kompakten Schreibweise" der Entwicklung.
Ja, denn in diesem Fall sagt dir $ [mm] -\int_{0}^{1}(1-s)\cdot D^2f(s\cdot u)\,ds\cdot\left\|u\right\|^2=\mathcal{O}\left(\left\|u\right\|^2\right) [/mm] $
(bzw korrekter wäre $ [mm] -\int_{0}^{1}(1-s)\cdot D^2f(s\cdot u)\,ds\cdot\left\|u\right\|^2 \in \mathcal{O}\left(\left\|u\right\|^2\right) [/mm] $)
dass du $ [mm] -\int_{0}^{1}(1-s)\cdot D^2f(s\cdot u)\,ds$ [/mm] in etwa durch eine Konstante abschätzen kannst und eben nicht bspw. noch ein Faktor herauskommt, der genauso schnell wächste wie $||u||$ bspw, denn sonst wäre ja $ [mm] -\int_{0}^{1}(1-s)\cdot D^2f(s\cdot u)\,ds\cdot\left\|u\right\|^2 \in \mathcal{O}\left(||u||*||u||^2\right) [/mm] = [mm] \mathcal{O}\left(\left\|u\right\|^3\right) [/mm] $
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 So 04.07.2010 | | Autor: | Denny22 |
Okay soweit, vielen Dank.
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