Taylor-Entwicklung (Umformung) < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Sa 05.03.2011 | | Autor: | Lexie |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklung der Funktion
g: [mm] \IR^{2} \to \IR, (x_{1},x_{2}) \mapsto \bruch{(x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2})}{x_{1}+x_{2}}
[/mm]
an der Stelle [mm] x^{0} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 3} [/mm] bis zur zweiten Ordnung. |
Hallo :)
Die Entwicklung selber ist eigentlich nicht das Problem (denke ich)
ich habe Gradient und Hesse-Matrix berechnet:
[mm] \Delta [/mm] g(x) = [mm] \vektor{\bruch{x_{1}^{2}x_{2} + 2x_{1}x_{2}^{2} + x_{2}^{2}}{(x_{1}+x_{2})^{2}} \\ \bruch{x_{1}^{3} - 2x_{1}x_{2} - x_{2}^{2}}{(x_{1}+x_{2})^{2}}}
[/mm]
und
[mm] H_{g}(x) [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{2x_{2}^{3} - 2x_{2}^{2}}{(x_{1} + x_{2})^{3}} & \bruch{x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2}x_{2} + 2x_{1}x_{2}}{(x_{1} + x_{2})^{3}} \\ \bruch{x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2}x_{2} + 2x_{1}x_{2}}{(x_{1} + x_{2})^{3}} & \bruch{-2x_{1}^{3} - 2x_{1}^{2}}{(x_{1} + x_{2})^{3}} }
[/mm]
Durch einsetzen komme ich dann auf
g(x) = [mm] \bruch{3}{5} [/mm] + [mm] \vektor{\bruch{57}{25} && -\bruch{13}{25}} [/mm] (x - [mm] \vektor{2 \\ 3}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (x - [mm] \vektor{2 \\ 3})^{T} \pmat{ \bruch{36}{125} & \bruch{56}{125} \\ \bruch{56}{125} & -\bruch{24}{125} } [/mm] (x - [mm] \vektor{2 \\ 3}) [/mm] + [mm] O((\parallel [/mm] x [mm] \parallel)^{3})
[/mm]
(was auch richtig ist laut Korrektur)
in der Musterlösung steht aber als Endergebnis:
g(x) = [mm] \vektor{\bruch{9}{25} && -\bruch{21}{25}} [/mm] x + [mm] \bruch{1}{2} x^{T} \pmat{ \bruch{36}{125} & \bruch{56}{125} \\ \bruch{56}{125} & -\bruch{24}{125} } [/mm] x + [mm] O((\parallel [/mm] x [mm] \parallel)^{3})
[/mm]
Wie komme ich denn darauf? Anscheinend ist das ja nur eine Umformung, aber ich verstehe nicht, wie das gehen soll :(
Ich habe es mit normaler Multiplikation versucht, also
[mm] \vektor{\bruch{57}{25} && -\bruch{13}{25}} [/mm] (x - [mm] \vektor{2 \\ 3}) [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{57}{25} && -\bruch{13}{25}} [/mm] x - [mm] \vektor{\bruch{57}{25} && -\bruch{13}{25}} \vektor{2 \\ 3}
[/mm]
aber da komme ich dann leider nicht auf die gesuchte Lösung.
LG Lexie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Lexie,
> Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklung der Funktion
> g: [mm]\IR^{2} \to \IR, (x_{1},x_{2}) \mapsto \bruch{(x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2})}{x_{1}+x_{2}}[/mm]
>
> an der Stelle [mm]x^{0}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\
3}[/mm] bis zur zweiten
> Ordnung.
> Hallo :)
>
> Die Entwicklung selber ist eigentlich nicht das Problem
> (denke ich)
> ich habe Gradient und Hesse-Matrix berechnet:
> [mm]\Delta[/mm] g(x) = [mm]\vektor{\bruch{x_{1}^{2}x_{2} + 2x_{1}x_{2}^{2} + x_{2}^{2}}{(x_{1}+x_{2})^{2}} \\
\bruch{x_{1}^{3} - 2x_{1}x_{2} - x_{2}^{2}}{(x_{1}+x_{2})^{2}}}[/mm]
Der Gradient heißt Nabla und schreibt sich in Formeln \nabla
Also [mm]\nabla g(x)=\ldots[/mm]
>
> und
> [mm]H_{g}(x)[/mm] = [mm]\pmat{ \bruch{2x_{2}^{3} - 2x_{2}^{2}}{(x_{1} + x_{2})^{3}} & \bruch{x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2}x_{2} + 2x_{1}x_{2}}{(x_{1} + x_{2})^{3}} \\
\bruch{x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2}x_{2} + 2x_{1}x_{2}}{(x_{1} + x_{2})^{3}} & \bruch{-2x_{1}^{3} - 2x_{1}^{2}}{(x_{1} + x_{2})^{3}} }[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Alles richtig berechnet!
>
> Durch einsetzen komme ich dann auf
> g(x) = [mm]\bruch{3}{5}[/mm] + [mm]\vektor{\bruch{57}{25} && -\bruch{13}{25}}[/mm] (x - [mm]\vektor{2 \\
3})[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (x - [mm]\vektor{2 \\
3})^{T} \pmat{ \bruch{36}{125} & \bruch{56}{125} \\
\bruch{56}{125} & -\bruch{24}{125} }[/mm] (x - [mm]\vektor{2 \\
3})[/mm] + [mm]O((\parallel[/mm] x [mm]\parallel)^{3})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (was auch richtig ist laut Korrektur)
Jo, wenn du das ausmultiplizierst, kommst du auf (ich schreibe statt [mm]x_1,x_2[/mm] zur besseren Übersichtlichkeit [mm]x,y[/mm]:
[mm]\frac{3}{5}+\frac{57}{25}(x-2)-\frac{13}{25}(y-3)+\frac{56}{125}(x-2)(y-3)+\frac{18}{125}(x-2)^2-\frac{12}{125}(y-3)^2[/mm]
Dies ergibt sich auch über die "Summenformel" der Taylorreihe mit der Multiindexdarstellung ...
Wenn du das noch weiter ausmultiplizierst und nach Potenzen von [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] sortierst, ergibt sich als Darstellung:
[mm]T(x,y)=\frac{18}{125}x^2-\frac{12}{125}y^2+\frac{56}{125}xy+\frac{9}{25}x-\frac{21}{25}y[/mm]
>
> in der Musterlösung steht aber als Endergebnis:
> g(x) = [mm]\vektor{\bruch{9}{25} && -\bruch{21}{25}}[/mm] x + [mm]\bruch{1}{2} x^{T} \pmat{ \bruch{36}{125} & \bruch{56}{125} \\
\bruch{56}{125} & -\bruch{24}{125} }[/mm] x + [mm]O((\parallel[/mm] x [mm]\parallel)^{3})[/mm]
Das ergibt, wenn du es ausmultiplizierst, genau deine Lösung (in komplett ausmultiplizierter Version)
>
> Wie komme ich denn darauf? Anscheinend ist das ja nur eine
> Umformung, aber ich verstehe nicht, wie das gehen soll :(
Und vor allem warum?! Wenn du doch schon eine Darstellung hast in Standardform mit dem Entwicklungspunkt drin ...
Die Umformung sieht nach einer Transformation aus.
Es wurde [mm]\vec{x}-\vektor{2\\
3}[/mm], also [mm]\vektor{x-2\\
y-3}[/mm] in [mm]\vec{x}[/mm], also [mm]\vektor{x\\
y}[/mm] transformiert.
Setze mal bei dir für jedes [mm]x_1[/mm] ein [mm]x_1+2[/mm] und für jedes [mm]x_2[/mm] ein [mm]x_2+3[/mm] ...
> Ich habe es mit normaler Multiplikation versucht, also
> [mm]\vektor{\bruch{57}{25} && -\bruch{13}{25}}[/mm] (x - [mm]\vektor{2 \\
3})[/mm] = [mm]\vektor{\bruch{57}{25} && -\bruch{13}{25}}[/mm] x - [mm]\vektor{\bruch{57}{25} && -\bruch{13}{25}} \vektor{2 \\
3}[/mm]
Du musst hier den Entwicklungspunkt [mm]\vektor{2\\
3}[/mm] wegbekommen.
Probier's mit der Trafo 
>
> aber da komme ich dann leider nicht auf die gesuchte
> Lösung.
>
> LG Lexie
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 So 06.03.2011 | | Autor: | Lexie |
> Hallo Lexie,
>
>
> > Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklung der Funktion
> > g: [mm]\IR^{2} \to \IR, (x_{1},x_{2}) \mapsto \bruch{(x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2})}{x_{1}+x_{2}}[/mm]
>
> >
> > an der Stelle [mm]x^{0}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\
3}[/mm] bis zur zweiten
> > Ordnung.
> > Hallo :)
> >
> > Die Entwicklung selber ist eigentlich nicht das Problem
> > (denke ich)
> > ich habe Gradient und Hesse-Matrix berechnet:
> > [mm]\Delta[/mm] g(x) = [mm]\vektor{\bruch{x_{1}^{2}x_{2} + 2x_{1}x_{2}^{2} + x_{2}^{2}}{(x_{1}+x_{2})^{2}} \\
\bruch{x_{1}^{3} - 2x_{1}x_{2} - x_{2}^{2}}{(x_{1}+x_{2})^{2}}}[/mm]
>
> Der Gradient heißt Nabla und schreibt sich in Formeln
> [mm][code]\nabla[/code][/mm]
>
> Also [mm]\nabla g(x)=\ldots[/mm]
>
Ups, jetzt wo die so untereinander stehen fällt mir auch auf, dass es gar nicht das gleiche ist ;)
(Auf Papier hab ich es aber immer richtig rum gemacht :D )
> >
> > und
> > [mm]H_{g}(x)[/mm] = [mm]\pmat{ \bruch{2x_{2}^{3} - 2x_{2}^{2}}{(x_{1} + x_{2})^{3}} & \bruch{x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2}x_{2} + 2x_{1}x_{2}}{(x_{1} + x_{2})^{3}} \\
\bruch{x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2}x_{2} + 2x_{1}x_{2}}{(x_{1} + x_{2})^{3}} & \bruch{-2x_{1}^{3} - 2x_{1}^{2}}{(x_{1} + x_{2})^{3}} }[/mm]
>
>
>
> Alles richtig berechnet!
>
>
> >
> > Durch einsetzen komme ich dann auf
> > g(x) = [mm]\bruch{3}{5}[/mm] + [mm]\vektor{\bruch{57}{25} && -\bruch{13}{25}}[/mm]
> (x - [mm]\vektor{2 \\
3})[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (x - [mm]\vektor{2 \\
3})^{T} \pmat{ \bruch{36}{125} & \bruch{56}{125} \\
\bruch{56}{125} & -\bruch{24}{125} }[/mm]
> (x - [mm]\vektor{2 \\
3})[/mm] + [mm]O((\parallel[/mm] x [mm]\parallel)^{3})[/mm]
>
> > (was auch richtig ist laut Korrektur)
>
> Jo, wenn du das ausmultiplizierst, kommst du auf (ich
> schreibe statt [mm]x_1,x_2[/mm] zur besseren Übersichtlichkeit
> [mm]x,y[/mm]:
>
> [mm]\frac{3}{5}+\frac{57}{25}(x-2)-\frac{13}{25}(y-3)+\frac{56}{125}(x-2)(y-3)+\frac{18}{125}(x-2)^2-\frac{12}{125}(y-3)^2[/mm]
>
> Dies ergibt sich auch über die "Summenformel" der
> Taylorreihe mit der Multiindexdarstellung ...
>
> Wenn du das noch weiter ausmultiplizierst und nach Potenzen
> von [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] sortierst, ergibt sich als Darstellung:
>
> [mm]T(x,y)=\frac{18}{125}x^2-\frac{12}{125}y^2+\frac{56}{125}xy+\frac{9}{25}x-\frac{21}{25}y[/mm]
>
Ah, da sind ja auch die [mm] \frac{9}{25}x [/mm] und [mm] -\frac{21}{25}y [/mm] aus der Musterlösung.
Mit dem Ausmultiplizieren verstehe ich es jetzt :)
Daraus kann ich ja ganz leicht den Term aus der Musterlösung bilden.
Hätte ich auch selbst drauf kommen können, aber ich dachte, das geht irgendwie in einem Schritt und nicht mit ausmultiplizieren, zusammenfassen und wieder zurück "einmultiplizieren" ;)
> >
> > in der Musterlösung steht aber als Endergebnis:
> > g(x) = [mm]\vektor{\bruch{9}{25} && -\bruch{21}{25}}[/mm] x +
> [mm]\bruch{1}{2} x^{T} \pmat{ \bruch{36}{125} & \bruch{56}{125} \\
\bruch{56}{125} & -\bruch{24}{125} }[/mm]
> x + [mm]O((\parallel[/mm] x [mm]\parallel)^{3})[/mm]
>
> Das ergibt, wenn du es ausmultiplizierst, genau deine
> Lösung (in komplett ausmultiplizierter Version)
>
> >
> > Wie komme ich denn darauf? Anscheinend ist das ja nur eine
> > Umformung, aber ich verstehe nicht, wie das gehen soll :(
>
> Und vor allem warum?! Wenn du doch schon eine Darstellung
> hast in Standardform mit dem Entwicklungspunkt drin ...
>
Weil die Musterlösung kürzer und kompakter ist und halt schöner aussieht ohne den Entwicklungspunkt.
Und weil es mich einfach geärgert hat, dass ich nicht wusste, wie die das gemacht haben ;)
> Die Umformung sieht nach einer Transformation aus.
>
> Es wurde [mm]\vec{x}-\vektor{2\\ 3}[/mm], also [mm]\vektor{x-2\\
y-3}[/mm]
> in [mm]\vec{x}[/mm], also [mm]\vektor{x\\ y}[/mm] transformiert.
>
> Setze mal bei dir für jedes [mm]x_1[/mm] ein [mm]x_1+2[/mm] und für jedes
> [mm]x_2[/mm] ein [mm]x_2+3[/mm] ...
>
> > Ich habe es mit normaler Multiplikation versucht, also
> > [mm]\vektor{\bruch{57}{25} && -\bruch{13}{25}} (x - \vektor{2 \\ 3}) = \vektor{\bruch{57}{25} && -\bruch{13}{25}} x - \vektor{\bruch{57}{25} && -\bruch{13}{25}} \vektor{2 \\
3}[/mm]
>
> Du musst hier den Entwicklungspunkt [mm]\vektor{2\\
3}[/mm]
> wegbekommen.
>
> Probier's mit der Trafo
>
> >
> > aber da komme ich dann leider nicht auf die gesuchte
> > Lösung.
> >
> > LG Lexie
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Vielen Dank für die Hilfe!
LG Lexie
|
|
|
|
