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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Mi 29.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho!
EDIT
Sorry, ich hatte hier vorher ein [mm] $\infty$ [/mm] - jetzt korrigiert.
Ich habe eine Frage zur Taylorformel:
[mm] $f(x)=\summe_{i=0}^{n}{\frac{f^{(i)}(a)}{i!}\cdot (x-a)^i}+\frac{1}{n!}\cdot\integral_{a}^{x}{(x-t)^n\cdot f^{(n+1)}(t)\cdot dt}$
[/mm]
Ich habe sie vorhin in der Wikipedia gefunden und sie durch vollständige Induktion bewiesen.
Mein Problem besteht nun darin, dass ich nicht weiß, wie man auf diese Formel bzw., um ein wenig genauer zu sein, auf die Restgliedformel gekommen ist.
Kann mir jemand an der Formel erklären, wieso was wo steht und mir sie ein wenig veranschaulichen?
Wie gesagt, das Taylorpolynom vorne kenne ich, ich frage mich jetzt nur, wieso der Rest gerade [mm] $\frac{1}{n!}\cdot\integral_{a}^{x}{(x-t)^n\cdot f^{(n+1)}(t)\cdot dt}$ [/mm] ist.
Danke schonmal!
Gruß,
Hanno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:41 Do 30.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Wesentlich einsichtiger wird dir die Formel werden, wenn du den zweiten Mittelwertsatz der Integralrechnung darauf loslässt:
Für auf einem Intervall $[a,b]$ stetige Funktionen $f,g$ gibt es im Falle $g [mm] \ge [/mm] 0$ eine Zwischenstelle [mm] $\xi \in [/mm] [a,b]$ mit
[mm] $\int\limits_a^b f(x)g(x)\, [/mm] dx = [mm] f(\xi) \int\limits_a^b g(x)\, [/mm] dx$.
Wenden wir das doch jetzt mal bei dir auf dein Restglied an (überzeuge dich bitte zunächst davon, dass die Voraussetzungen des zweiten Mittelwertsatzes der Integralrechnung erfüllt sind).
Es gibt also ein [mm] $\xi \in [/mm] [a,x]$ mit
$ [mm] \frac{1}{n!}\cdot\integral_{a}^{x}{(x-t)^n\cdot f^{(n+1)}(t)\, dt} [/mm] = [mm] f^{(n+1)}(\xi) \cdot \frac{1}{n!} \integral_{a}^{x}{(x-t)^n \, dt} [/mm] = [mm] f^{(n+1)}(\xi) \cdot \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}$.
[/mm]
Und ich denke mal, diese Lagrange Form des Restgliedes in der Taylor-Formel dürfte wesentlich einsichtiger für dich sein. Die Taylor-Summe wird sozusagen einfach weitergeführt, nur im Restglied wird die entsprechende Ableitung nicht an der Stelle $a$ (wie zuvor immer), sondern an einer Zwischenstelle [mm] $\xi$ [/mm] genommen. Das erinnert dann doch ganz stark an den ganz normalen Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Ich hoffe ich konnte dir etwas helfen. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Do 30.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Grüß dich Stefan!
Erstmal danke für deine Antwort, sie hat mir insofern geholfen, als dass ich mir diese ganzen Mittelwertsätze mit Beweis angeschaut habe.
Auch verstehe ich die Herleitung des Lagranschen Restgliedes, aber ich komme, auch mit deinem Hinweis auf den Mittelwertsatz, nicht wirklich anschaulich dahinter, wieso
[mm] $f^{(n+1)}(\xi )\cdot\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}=\summe_{i=n+1}^{\infty}{\frac{f^{(i)}(a)}{i!}\cdot (x-a)^{i}}$
[/mm]
gilt.
Kannst du mir noch mehr auf die Sprünge helfen?
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Do 30.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Die Formel, die du jetzt angegeben hast, gilt ja nur für unendlich oft stetig differenzierbare Funktionen im Konvergenzbereich der Taylorreihe. Ich denke es wird schwierig die Formel in diesem Fall "anschaulich" zu begründen.
Wir können deine Frage ja mal bis morgen offen lassen, aber ich glaube kaum, dass dir die jemand gescheit beantworten kann. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Do 30.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan.
Irgendwie muss Herr Taylor auf seine Formel ja gekommen sein, und da muss er sich ja einige Anschauliche Überlegungen gemacht haben.
Wie meintest du deinen letzten Satz aus der ersten Antwort, in dem du den mittelwertsatz der Differentialrechnung erwähntest? Wo liegt darin die Veranschaulichung?
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:41 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Wenn dich das Thema im Moment so interessiert, kannst du dir ja mal ![[]](/images/popup.gif) diesen Artikel durchlesen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Grüß dich!
Ja, jetzt habe ich ihn mir nochmal angesehen und es ist wirklcih klasse - eine andere, aber weitaus Aufschlussreichere Herleitung der Taylorreihen.
Vielen Dank nochmal!
Gruß,
Hanno
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