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| Aufgabe | Sei [mm] f:(-2,\infty)->\IR, f(x)=\wurzel{x+2}. [/mm] Bestimmen Sie das Taylor-Polynom [mm] T_{2,0}(h) [/mm] vom Grad 2 um 0 und zeigen Sie, dass für das Restglied [mm] R_{2,0}(h) [/mm] die Abschätzung:
[mm] |R_{2,0}(h)| \le |h|^{3}/16
[/mm]
gilt, falls |h| [mm] \le [/mm] 1. |
Hallo,
ich habe als Lösung:
Zuerst die Ableitungen:
f(x) = [mm] \wurzel{x+2} [/mm] = [mm] (x+2)^{1/2}
[/mm]
f'(x) = [mm] (1/2)*(x+2)^{-1/2} [/mm] = [mm] 1/(2*\wurzel{x+2})
[/mm]
f''(x) = [mm] (1/2)*(-1/2)*(x+2)^{-3/2} [/mm] = [mm] (-1/4)*(x+2)^{-3/2} [/mm]
f'''(x)= [mm] (-1/4)*(-3/2)*(x+2)^{-5/2} [/mm] = [mm] (3/8)*(x+2)^{-5/2}
[/mm]
f(0) = [mm] \wurzel{0+2} [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
f'(0) = [mm] 1/(2*\wurzel{0+2}) [/mm] = [mm] 1/(2*\wurzel{2}) [/mm]
f''(0) = [mm] (-1/4)*(0+2)^{-3/2} [/mm] = [mm] (-1/4)*(2)^{-3/2} [/mm] = [mm] -1/(4*2*\wurzel{2}) [/mm] = [mm] -1/(8\wurzel{2})
[/mm]
=>
Edit: $ [mm] T_{2,0}(h)= \wurzel{2} [/mm] $ + $ [mm] h/(2\cdot{}\wurzel{2}) [/mm] - [mm] (h^{2}/(8\wurzel{2}))/2 [/mm] $ = $ [mm] \wurzel{2} [/mm] $ + $ [mm] h/(2\cdot{}\wurzel{2}) [/mm] $ - $ [mm] h^{2}/(16\wurzel{2}) [/mm] $
Nun zur Abschätzung, bei der ich leider nicht weiter weiß:
Wir haben den "Satz von Taylor": [mm] f(x_0 [/mm] + h) = [mm] T_{n,x_0}(h) [/mm] +( [mm] f^{n+1}(\xi)/(n+1)!) *h^{n+1} \forall h\in(a-x_0,b-x_0), [/mm] mit einem [mm] \xi [/mm] zwischen [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_0+h.
[/mm]
So, ich denke man muss mit der 3. Ableitung arbeiten, darum habe ich sie oben auch schon gebildet. Weiter ist mir bisher nur aufgefallen, dass wegen |h| [mm] \le [/mm] 1gelten müsste: [mm] -1<\xi<0 \vee 0<\xi<1.
[/mm]
Liebe Grüße
sommersonne
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Sa 30.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo sommersonne!
Bei Deiner ![[]](/images/popup.gif) Taylor-Reihe hast Du aber noch so einiges vergessen. Denn diese lautet für den Entwicklungspunkt [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ :
[mm] $$T_0(x) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(0)}{n!}*x^n [/mm] \ = \ [mm] f(0)+\bruch{f'(0)}{\red{1!}}*\red{x^1}+\bruch{f''(0)}{\red{2!}}*\red{x^2}+...$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo,
da hast du natürlich recht!
Das habe ich ganz vergessen, tut mir leid:
Also $ [mm] T_{2,0}(h)= \wurzel{2} [/mm] $ + $ [mm] h/(2\cdot{}\wurzel{2}) [/mm] - [mm] (h^{2}/(8\wurzel{2}))/2 [/mm] $ = [mm] \wurzel{2} [/mm] $ + $ [mm] h/(2\cdot{}\wurzel{2}) [/mm] - [mm] h^{2}/(16\wurzel{2})
[/mm]
Liebe Grüße und vielen Dank,
sommersonne
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Hallo,
Die x fehlen aber immer noch! Bis jetzt ist dein Taylorpolynom eine Konstante!
Sieh dir nochmal Loddars Post an.
Stefan.
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Hallo,
aber es gilt doch [mm] x_0=0, [/mm] somit kommt doch in [mm] T_{2,0} [/mm] kein x mehr vor, oder?
Liebe Grüße
sommersonne
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Hallo sommersonne,
> Hallo,
>
> aber es gilt doch [mm]x_0=0,[/mm] somit kommt doch in [mm]T_{2,0}[/mm] kein x
> mehr vor, oder?
Doch, die x se kommen in jedem Taylorpolynom vor. [mm]x_{0}=0[/mm] ist ja nur der Entwicklungspunkt.
Lies Dir mal das durch: Taylorpolynom
>
> Liebe Grüße
> sommersonne
Gruß
MathePower
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Hallo,
wir haben das Taylor-Polynom ein wenig anders definiert:
[mm] T_{n,x_0}(h) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} (f^{k}(x_0)/k!) *h^{k}
[/mm]
Daher dachte ich das Taylor-Polynom wäre von h abhängig, da ja auch nach [mm] T_{2,0}(h) [/mm] gefragt ist.
So wie ich das auf Wikipedia verstehe, würde ich jetzt auch nur das h durch das x ersetzen, also [mm] T_{2,0}(x) [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] + [mm] x/(2\cdot{}\wurzel{2}) [/mm] - [mm] (x^{2}/(8\wurzel{2}))/2 [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] + [mm] x/(2\cdot{}\wurzel{2}) [/mm] - [mm] x^{2}/(16\wurzel{2}) [/mm]
Liebe Grüße
sommersonne
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Sa 30.08.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du den Entwicklungspkt [mm] x_0=0 [/mm] nimmst stimmt deine Darstellung und die allgemeine ueberein.
die uebliche Darstellung ist allerdings mit Potenzen von x bzw. [mm] (x-x_0) [/mm] .in deiner Darstellung waere dann [mm] h=x-x_0.
[/mm]
Gruss leduart
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Hallo sommersonne,
> Sei [mm]f:(-2,\infty)->\IR, f(x)=\wurzel{x+2}.[/mm] Bestimmen Sie
> das Taylor-Polynom [mm]T_{2,0}(h)[/mm] vom Grad 2 um 0 und zeigen
> Sie, dass für das Restglied [mm]R_{2,0}(h)[/mm] die Abschätzung:
> [mm]|R_{2,0}(h)| \le |h|^{3}/16[/mm]
> gilt, falls |h| [mm]\le[/mm] 1.
> Hallo,
>
> ich habe als Lösung:
>
> Zuerst die Ableitungen:
> f(x) = [mm]\wurzel{x+2}[/mm] = [mm](x+2)^{1/2}[/mm]
> f'(x) = [mm](1/2)*(x+2)^{-1/2}[/mm] = [mm]1/(2*\wurzel{x+2})[/mm]
> f''(x) = [mm](1/2)*(-1/2)*(x+2)^{-3/2}[/mm] = [mm](-1/4)*(x+2)^{-3/2}[/mm]
> f'''(x)= [mm](-1/4)*(-3/2)*(x+2)^{-5/2}[/mm] = [mm](3/8)*(x+2)^{-5/2}[/mm]
>
>
> f(0) = [mm]\wurzel{0+2}[/mm] = [mm]\wurzel{2}[/mm]
> f'(0) = [mm]1/(2*\wurzel{0+2})[/mm] = [mm]1/(2*\wurzel{2})[/mm]
> f''(0) = [mm](-1/4)*(0+2)^{-3/2}[/mm] = [mm](-1/4)*(2)^{-3/2}[/mm] =
> [mm]-1/(4*2*\wurzel{2})[/mm] = [mm]-1/(8\wurzel{2})[/mm]
> =>
> Edit: [mm]T_{2,0}= \wurzel{2}[/mm] + [mm]h/(2\cdot{}\wurzel{2}) - (h^{2}/(8\wurzel{2}))/2[/mm]
> = [mm]\wurzel{2}[/mm] + [mm]h/(2\cdot{}\wurzel{2})[/mm] -
> [mm]h^{2}/(16\wurzel{2})[/mm]
>
> Nun zur Abschätzung, bei der ich leider nicht weiter weiß:
> Wir haben den "Satz von Taylor": [mm]f(x_0[/mm] + h) = [mm]T_{n,x_0}(h)[/mm]
> +( [mm]f^{n+1}(\xi)/(n+1)!) *h^{n+1} \forall h\in(a-x_0,b-x_0),[/mm]
> mit einem [mm]\xi[/mm] zwischen [mm]x_0[/mm] und [mm]x_0+h.[/mm]
>
> So, ich denke man muss mit der 3. Ableitung arbeiten, darum
> habe ich sie oben auch schon gebildet. Weiter ist mir
> bisher nur aufgefallen, dass wegen |h| [mm]\le[/mm] 1gelten müsste:
> [mm]-1<\xi<0 \vee 0<\xi<1.[/mm]
Damit hast Du jetzt das Intervall festgelegt.
Bestimme nun in diesem Intervall den maximalen Wert von [mm]\vmat{\bruch{f^{n+1}\left( \xi \right)}{\left(n+1\right)!}}[/mm]
>
>
> Liebe Grüße
> sommersonne
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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Hallo,
> $ [mm] -1<\xi<0 \vee 0<\xi<1. [/mm] $
Damit hast Du jetzt das Intervall festgelegt.
Bestimme nun in diesem Intervall den maximalen Wert von $ [mm] \vmat{\bruch{f^{n+1}\left( \xi \right)}{\left(n+1\right)!}} [/mm] $
Also f'''(x) war ja f'''(x) = [mm] (3/8)*(x+2)^{-5/2}
[/mm]
Ist es eigentlich richtig, dass [mm] \xi [/mm] nicht 0 sein kann?
Für [mm] -1<\xi<0 [/mm] gilt:
[mm] f(\xi)=(3/8)*(\xi+2)^{-5/2} [/mm] < [mm] (3/8)*(0+2)^{-5/2} [/mm] = [mm] (3/8)*(2)^{-5/2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{8*2*2*\wurzel{2}}= \bruch{3}{32*\wurzel{2}}
[/mm]
Für [mm] 0<\xi<1 [/mm] gilt:
[mm] f(\xi)=(3/8)*(\xi+2)^{-5/2}< (3/8)*(0+2)^{-5/2}=\bruch{3}{32*\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] |R_{2.0}(h)| [/mm] = [mm] \vmat{\bruch{f^{n+1}\left( \xi \right)}{\left(n+1\right)!}}*|h|^{3} [/mm] < [mm] (\bruch{3}{32*\wurzel{2}})/6 *(|h|^{3}) [/mm] = [mm] \bruch{3}{6*32*\wurzel{2}}|h|^{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3*32*\wurzel{2}}|h|^{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{96*\wurzel{2}} |h|^{3} <=\bruch{1}{16*\wurzel{2}} |h|^{3}
[/mm]
Liebe Grüße
sommersonne
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Hallo sommersonne,
> Hallo,
>
> > [mm]-1<\xi<0 \vee 0<\xi<1.[/mm]
>
> Damit hast Du jetzt das Intervall festgelegt.
>
> Bestimme nun in diesem Intervall den maximalen Wert von
> [mm]\vmat{\bruch{f^{n+1}\left( \xi \right)}{\left(n+1\right)!}}[/mm]
>
>
>
> Also f'''(x) war ja f'''(x) = [mm](3/8)*(x+2)^{-5/2}[/mm]
>
> Ist es eigentlich richtig, dass [mm]\xi[/mm] nicht 0 sein kann?
Es ist das ganze Intervall [mm]\left[-1,1\right][/mm] zu betrachten.
>
> Für [mm]-1<\xi<0[/mm] gilt:
> [mm]f(\xi)=(3/8)*(\xi+2)^{-5/2}[/mm] < [mm](3/8)*(0+2)^{-5/2}[/mm] =
> [mm](3/8)*(2)^{-5/2}[/mm] = [mm]\bruch{3}{8*2*2*\wurzel{2}}= \bruch{3}{32*\wurzel{2}}[/mm]
>
> Für [mm]0<\xi<1[/mm] gilt:
> [mm]f(\xi)=(3/8)*(\xi+2)^{-5/2}< (3/8)*(0+2)^{-5/2}=\bruch{3}{32*\wurzel{2}}[/mm]
>
> [mm]|R_{2.0}(h)|[/mm] = [mm]\vmat{\bruch{f^{n+1}\left( \xi \right)}{\left(n+1\right)!}}*|h|^{3}[/mm]
> < [mm](\bruch{3}{32*\wurzel{2}})/6 *(|h|^{3})[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{6*32*\wurzel{2}}|h|^{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{3*32*\wurzel{2}}|h|^{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{96*\wurzel{2}} |h|^{3} <=\bruch{1}{16*\wurzel{2}} |h|^{3}[/mm]
>
Betrachte hier nur die Intervallgrenzen, also -1 und 1.
>
> Liebe Grüße
> sommersonne
Gruß
MathePower
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Hallo,
ist das genaue Intervall eigentlich 1., 2. oder 3.:
1. -1<x<0 [mm] \vee [/mm] 0<x<1
2. -1<x<1
3. [mm] -1\le [/mm] x [mm] \le1
[/mm]
f(-1) = [mm] \bruch{3}{8(-1+2)^{5/2}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{8(1)^{5/2}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{8} [/mm]
f(1) = [mm] \bruch{3}{8(1+2)^{5/2}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{8(3)^{5/2}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{8*3*3*\wurzel{3}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8*3*\wurzel{3}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{24*\wurzel{3}}
[/mm]
=> [mm] |R_{2,0}| \le \bruch{3}{8} [/mm] /6 * [mm] |h|^{3} [/mm] = [mm] \bruch{3}{8*6} [/mm] * [mm] |h|^{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8*2} *|h|^{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{16} *|h|^{3}
[/mm]
Liebe Grüße
sommersonne
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Hallo sommersonne,
> Hallo,
>
> ist das genaue Intervall eigentlich 1., 2. oder 3.:
> 1. -1<x<0 [mm]\vee[/mm] 0<x<1
> 2. -1<x<1
> 3. [mm]-1\le[/mm] x [mm]\le1[/mm]
Das unter 3. angegebene Intervall ist das richtige.
>
> f(-1) = [mm]\bruch{3}{8(-1+2)^{5/2}}[/mm] = [mm]\bruch{3}{8(1)^{5/2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{8}[/mm]
> f(1) = [mm]\bruch{3}{8(1+2)^{5/2}}[/mm] = [mm]\bruch{3}{8(3)^{5/2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{8*3*3*\wurzel{3}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{8*3*\wurzel{3}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{24*\wurzel{3}}[/mm]
>
> => [mm]|R_{2,0}| \le \bruch{3}{8}[/mm] /6 * [mm]|h|^{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{8*6}[/mm] * [mm]|h|^{3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{8*2} *|h|^{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{16} *|h|^{3}[/mm]
>
So ist's richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Liebe Grüße
> sommersonne
>
>
Gruß
MathePower
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