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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Fr 30.04.2010 | | Autor: | jjkl |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritten Grades der Funktion f(x)=ln(x) um den Entwicklungspunkt x=-1. |
Guten Abend.
habe leider keine musterlösung zu dieser Aufgabe, deshalb bitte ich euch die Aufgabe mal eben runterzurechnen und mein Ergebnis zu überprüfen.
Ergebnis:
[mm] T_{3}(x)=-\bruch{1}{3}x^3-\bruch{5}{2}x^2-3x-\bruch{11}{6}+\pi*i
[/mm]
vielen dank im vorraus für die Mühen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Fr 30.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritten Grades der Funktion
> f(x)=ln(x) um den Entwicklungspunkt x=-1.
> Guten Abend.
> habe leider keine musterlösung zu dieser Aufgabe, deshalb
> bitte ich euch die Aufgabe mal eben runterzurechnen und
> mein Ergebnis zu überprüfen.
>
> Ergebnis:
>
> [mm]T_{3}(x)=-\bruch{1}{3}x^3-\bruch{5}{2}x^2-3x-\bruch{11}{6}+\pi*i[/mm]
Das stimmt nicht. Allein schon deswegen, weil [mm] $\exp(\pi [/mm] i - [mm] \frac{11}{6})$ [/mm] nicht -1 ist, was aber sein muesste wenn [mm] $T_3(0) [/mm] = [mm] \log(-1)$ [/mm] ist. Davon abgesehen, stimmen alle Koeffizienten nicht, ausser der von [mm] $x^3$.
[/mm]
Wenn du uns verraetst, wie du gerechnet hast, koennen wir dir evtl. sagen woran es liegt.
(Ein kleiner Tipp: die Reihenentwicklung hat starke Aehnlichkeit mit der um $x = 1$.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Fr 30.04.2010 | | Autor: | jjkl |
f(x)=ln(x) [mm] f(-1)=\pi*i
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{x} [/mm] f'(-1)=-1
[mm] f''(x)=-\bruch{1}{x^2} [/mm] f''(-1)=-1
[mm] f'''(x)=\bruch{2}{x^3} [/mm] f'''(-1)=-2
stur hier eingesetzt:
[mm] T_{n}(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^k(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^k
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Fr 30.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> f(x)=ln(x) [mm]f(-1)=\pi*i[/mm]
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{x}[/mm] f'(-1)=-1
> [mm]f''(x)=-\bruch{1}{x^2}[/mm] f''(-1)=-1
> [mm]f'''(x)=\bruch{2}{x^3}[/mm] f'''(-1)=-2
>
> stur hier eingesetzt:
>
> [mm]T_{n}(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^k(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^k[/mm]
Ah, ich bemerke gerade, du hast das ganze ausmultipliziert. Jetzt sieht's gleich viel besser aus 
Ganz stimmen tut es allerdings noch nicht: laut Maple sollte das ausmultiplizierte Polynom [mm] $\pi [/mm] i - [mm] \tfrac{11}{6} [/mm] - 3 x - [mm] \tfrac{3}{2} x^2 [/mm] - [mm] \tfrac{1}{3} x^3$ [/mm] lauten.
LG Felix
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