Taylor-Reihe Wurzelfunktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:12 So 26.03.2017 | | Autor: | X3nion |
Guten Abend!
Ich soll die Taylor-Entwicklung der Wurzelfunktion an den Stellen [mm] x_0 [/mm] = 0 sowie [mm] x_1 [/mm] = 1 durchführen und über eventuelle Probleme berichten.
Nun es ist
f(x) = [mm] x^{\frac{1}{2}}
[/mm]
f'(x) = [mm] \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}
[/mm]
f''(x) = [mm] -\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}}
[/mm]
f'''(x) = [mm] \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{3}{2} x^{-\frac{5}{2}}
[/mm]
[mm] f^{(iv)}(x) [/mm] = [mm] -\frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{3}{2} \frac{5}{2} x^{-\frac{7}{2}}
[/mm]
Allgemein würde ich die n-te Ableitung für n [mm] \ge [/mm] 1 wie folgt bestimmen:
[mm] f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] (-1)^{n+1} [/mm] * [mm] \frac{1}{2^{n}} [/mm] * [mm] \produkt_{k=2}^{n}(2k-3) [/mm] * [mm] x^{\frac{1-2n}{2}}
[/mm]
Für n = 0 geht die Formel jedich och nicht auf, da ich dann [mm] f^{0}(x) [/mm] = [mm] (-1)^{0+1} [/mm] * [mm] x^{\frac{1}{2}} [/mm] = [mm] (-1)^{1} x^{\frac{1}{2}} [/mm] = -1 [mm] x^{\frac{1}{2}}, [/mm] im Widerspruch zur Funktion f(x) = [mm] x^{\frac{1}{2}}
[/mm]
Ich dachte daran, in der Formel selbst eine Fallunterscheidung zu machen durch Definition einer zusätzlichen Funktion u:
Sei u(n):= [mm] \begin{cases} +1, & \mbox{falls } n=0 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Dann ist [mm] f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] (-1)^{n+1+u(n)} [/mm] * [mm] \frac{1}{2^{n}} [/mm] * [mm] \produkt_{k=2}^{n}(2k-3) [/mm] * [mm] x^{\frac{1-2n}{2}}
[/mm]
Wäre der kleine Umweg so in Ordnung?
Taylor-Entwicklung von f(x) um [mm] x_0 [/mm] = 0:
f(0) = 0, f'(0) = 0, ... [mm] f^{(n)}(0) [/mm] = 0
=> Da [mm] f^{(n)}(0) [/mm] = 0 für alle n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 0, ist die Taylor-Reihe von f(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] um [mm] x_0 [/mm] = 0 identisch "null", obwohl f(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] nur im Nullpunkt den Wert "0" annimmt.
Stimmt das so?
- Taylor-Entwicklung von f(x) um [mm] x_0 [/mm] = 1:
a) T[f,1] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1+u(n)}*\frac{1}{2^{n}}*\produkt_{k=2}^{n}(2k-3)}{n!} (x-1)^{n}
[/mm]
b) Konvergenzbereich der Taylor-Reihe bestimmen:
Sei nun [mm] a_{n}:= \frac{(-1)^{n+1+u(n)}*\frac{1}{2^{n}}*\produkt_{k=2}^{n}(2k-3)}{n!}
[/mm]
Quotientenkriterium liefert:
[mm] \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{\frac{(-1)^{n+2+u(n+1)}*\frac{1}{2^{n+1}}*\produkt_{k=2}^{n+1}(2k-3)}{(n+1)!}}{\frac{(-1)^{n+1+u(n)}*\frac{1}{2^{n}}*\produkt_{k=2}^{n}(2k-3)}{n!}}\right| [/mm] = [mm] \left|(-1)^{1+u(n+1)-u(n)} * \frac{2^{n}*n!}{2^{n+1}*(n+1)!} * (x-1) * \frac{\produkt_{k=2}^{n+1}(2k-3)}{\produkt_{k=2}^{n}(2k-3)}\right| [/mm]
= [mm] \left|\frac{1}{2(n+1)} * [2(n+1)-3] * (x-1)\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{1}{2(n+1)} * (2n-1) * (x-1)\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{2n+1}{2n+2} * (x-1)\right| [/mm] = [mm] \frac{2n+1}{2n+2} [/mm] * |x-1|
Nun ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| [/mm] = |x-1| * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] * [mm] \frac{2n+1}{2n+2} [/mm] = |x-1|.
Damit nun die Taylorreihe konvergiert, muss 0 < x < 2 gelten.
Dann gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| [/mm] < 1 und somit existiert zu [mm] \theta [/mm] mit |x-1| < [mm] \theta [/mm] < 1 ein [mm] n_{0} \in \IN, [/mm] sodass
[mm] \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \le \theta \forall [/mm] n [mm] \ge n_0.
[/mm]
=> Die Taylor-Reihe konvergiert für alle x [mm] \in \IR [/mm] mit 0 < x < 2.
Wären die Ausführungen bisher korrekt?
c) Noch zu zeigen: Taylor-Reihe konvergiert gegen f(x) <=> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} R_{n+1}(x) [/mm] = 0.
Es ist [mm] R_{n+1}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{n!} \integral_{1}^{x}{(x-t)^{n} f^{(n+1)}(t) dt} [/mm] = [mm] \frac{1}{n!} \integral_{1}^{x}{(x-t)^{n} * (-1)^{n+2+u(n+1)}*\frac{1}{2^{n+1}}*\produkt_{k=2}^{n+1}(2k-3) * t^{\frac{1-2(n+1)}{2}}dt} [/mm] = [mm] \frac{(-1)^{n+2+u(n)}}{n!*2^{n+1}} [/mm] * [mm] \produkt_{k=2}^{n+1}(2k-3) [/mm] * [mm] \integral_{1}^{x}{(x-t)^{n} t^{\frac{1-2(n+1)}{2}}} [/mm] dt
Nun weiß ich nicht mehr weiter. Ich dachte daran, eine Fallunterscheidung zu machen und den Term [mm] t^{\frac{1-2(n+1)}{2}} [/mm] = [mm] t^{-n-\frac{1}{2}} [/mm] für 1 < x < 2 abzuschätzen: Für 1 < t [mm] \le [/mm] 2 gilt:
[mm] t^{-n-0.5} [/mm] < [mm] t^{0} [/mm] = 1
Und dann das Integral berechnen
Aber ob das zielführend ist, weiß ich nicht. Ebensowenig wie ich einen Ansatz für den Fall 0 [mm] \< [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 habe.
Ich wäre wie immer sehr dankbar für eure Antworten und Tipps! 
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 Mo 27.03.2017 | | Autor: | Loddar |
Hallo X3nion!
> Taylor-Entwicklung von f(x) um [mm]x_0[/mm] = 0:
>
> f(0) = 0, f'(0) = 0, ... [mm]f^{(n)}(0)[/mm] = 0
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Ab der 1. Ableitung (und allen nachfolgenden Ableitungen) sind die Ableitungsfunktionen an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ jeweils überhaupt nicht definiert.
Da erscheint mir eine Taylor-Reihe sehr zweifelhaft.
> => Da [mm]f^{(n)}(0)[/mm] = 0 für alle n [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\ge[/mm] 0, ist die
> Taylor-Reihe von f(x) = [mm]\wurzel{x}[/mm] um [mm]x_0[/mm] = 0 identisch
> "null", obwohl f(x) = [mm]\wurzel{x}[/mm] nur im Nullpunkt den Wert
> "0" annimmt.
>
> Stimmt das so?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Mo 27.03.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Loddar,
vielen Dank!
ohman bin ich mal wieder blöd, 1/0 .....
Gruß X3nion
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> - Taylor-Entwicklung von f(x) um [mm]x_0[/mm] = 1:
>
> a) T[f,1] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1+u(n)}*\frac{1}{2^{n}}*\produkt_{k=2}^{n}(2k-3)}{n!} (x-1)^{n}[/mm]
Du kannst die Funktion u auch umgehen, indem du ganz einfach schreibst:
[mm] T[f,1] = 1+0,5(x-1)+\summe_{n=\red{2}}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1+u(n)}*\frac{1}{2^{n}}*\produkt_{k=2}^{n}(2k-3)}{n!} (x-1)^{n}[/mm]
Die Summe muss zwar mit dem 0-ten Glied anfangen, aber wer behauptet, dass man alles unter ein Summenzeichen schreiben muss?
Teil c) kannst du dir sparen: Da, wo die Taylorreihe konvergiert (hier ]0|2[ ), stimmt sie automatisch mit der Funktion überein. Die Restgliedabschätzung ist nur interessant, wenn man irgendwo die Reihe abbricht und den Fehler abschätzen will.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Mo 27.03.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo und Danke für deine Antwort!
> > - Taylor-Entwicklung von f(x) um [mm]x_0[/mm] = 1:
> >
> > a) T[f,1] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1+u(n)}*\frac{1}{2^{n}}*\produkt_{k=2}^{n}(2k-3)}{n!} (x-1)^{n}[/mm]
>
>
> Du kannst die Funktion u auch umgehen, indem du ganz
> einfach schreibst:
>
> [mm]T[f,1] = 1+0,5(x-1)+\summe_{n=\red{2}}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1+u(n)}*\frac{1}{2^{n}}*\produkt_{k=2}^{n}(2k-3)}{n!} (x-1)^{n}[/mm]
>
> Die Summe muss zwar mit dem 0-ten Glied anfangen, aber wer
> behauptet, dass man alles unter ein Summenzeichen schreiben
> muss?
>
> Teil c) kannst du dir sparen: Da, wo die Taylorreihe
> konvergiert (hier ]0|2[ ), stimmt sie automatisch mit der
> Funktion überein. Die Restgliedabschätzung ist nur
> interessant, wenn man irgendwo die Reihe abbricht und den
> Fehler abschätzen will.
Hmm bist du dir da sicher? Im Forster steht als Bemerkung, dass es Taylor-Reihen gibt die konvergieren, aber nicht notwendigerweise gegen f.
Und beim Beweis über die Binomische Reihe (darüber habe ich einem anderen Beitrag mit Fragen verfasst) wird auch erstmal der Konvergenzbereich ermittelt und dann geprüft, ob das Restglied gegen 0 konvergiert.
Müsste man das somit nicht auch hier machen?
Viele Grüße,
X3nion
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Hiho,
> Hmm bist du dir da sicher? Im Forster steht als Bemerkung,
> dass es Taylor-Reihen gibt die konvergieren, aber nicht
> notwendigerweise gegen f.
da hast du recht und HJKWeseleit sich geirrt. Für ein schönes Gegenbeispiel darf gerne freds Mitteilung beachtet werden
Der Beweis von c) ist aber trivial, wenn man sich überlegt, wie das "RESTglied" gerade definiert ist, nämlich als:
[mm] $R_{n+1}(x) [/mm] = f(x) - [mm] T_n(x)$ [/mm] weil eben nach der Taylorformel gerade gilt: $f(x) = [mm] T_n(x) [/mm] + [mm] R_{n+1}(x)$
[/mm]
Grenzwertbildung auf beiden Seiten liefert dir das Gewünschte.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Mo 27.03.2017 | | Autor: | X3nion |
Guten Abend zusammen,
wie immer vielen Dank für eure Antworten!
> Da muss ich heftigst widersprechen. Nehmen wir z.B:
> $ [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für }x=0 \\ e^{-1/x^2}, & \mbox{für } > x \ne 0 \end{cases} [/mm] $
> Dann ist $ f [mm] \in C^{\infty}(\IR) [/mm] $ und $ [mm] f^{(n)}(0)=0 [/mm] $ für alle $ n [mm] \in \IN_0 [/mm] > $.
> Die Taylorreihe von f in 0 ist also die "Nullreihe".
- Ein kurzes Nachhaken zu deiner Mitteilung, Fred:
Was bedeutet f [mm] \in C^{\infty}(\IR) [/mm] ?
- Zu deiner Antwort, Gono:
Hmm dann würde ja folgendes da stehen:
[mm] R_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{x} [/mm] - [mm] \summe_{i=0}^{n} \frac{(-1)^{i+1+u(i)}\cdot{}\frac{1}{2^{i}}\cdot{}\produkt_{k=2}^{i}(2k-3)}{i!} (x-1)^{i}
[/mm]
Wenn man nun beide Seiten gegen unendlich laufen lässt und den Betrag nimmt, so würde ja folgendes da stehen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |R_{n+1}| [/mm] = [mm] \left|\wurzel{x} - \summe_{i=0}^{n} \frac{(-1)^{i+1+u(i)}\cdot{}\frac{1}{2^{i}}\cdot{}\produkt_{k=2}^{i}(2k-3)}{i!} (x-1)^{i}\right|
[/mm]
Aber wie würde man nun weiter machen und zeigen, dass [mm] lim_{n\rightarrow\infty} R_{n+1} [/mm] = 0
Viele Grüße,
X3nion
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Hiho,
> - Ein kurzes Nachhaken zu deiner Mitteilung, Fred:
>
> Was bedeutet f [mm]\in C^{\infty}(\IR)[/mm] ?
[mm] $C^\infty(\IR)$ [/mm] ist der Raum der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen. f ist also beliebig oft stetig differenzierbar.
> - Zu deiner Antwort, Gono:
>
> Hmm dann würde ja folgendes da stehen:
>
> [mm]R_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{x}[/mm] - [mm]\summe_{i=0}^{n} \frac{(-1)^{i+1+u(i)}\cdot{}\frac{1}{2^{i}}\cdot{}\produkt_{k=2}^{i}(2k-3)}{i!} (x-1)^{i}[/mm]
Total unnötig, du brauchst doch dein Beispiel gar nicht mehr konkret einsetzen!
Es gilt ja:
[mm] $R_{n+1} [/mm] = f - [mm] T_n$
[/mm]
Bildet man nun den Grenzwert auf beiden Seiten steht da:
[mm] $\lim_{n\to\infty}R_{n+1} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] (f - [mm] T_n)$
[/mm]
Und damit:
[mm] $\lim_{n\to\infty}R_{n+1} [/mm] = 0 [mm] \quad \gdw \quad \lim_{n\to\infty} [/mm] (f - [mm] T_n) [/mm] = 0 [mm] \quad \gdw \quad \lim_{n\to\infty} T_n [/mm] = f$
Und links steht eben nun "Das Restglied geht gegen Null" und recht "Die Taylorentwicklung konvergiert gegen f"
Der Satz gilt halt grundsätzlich.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:20 Di 28.03.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Gono,
Danke für deine Antwort!
Hmm aber woher weiß man denn, dass ermittelte Taylor-Reihe gegen f konvergiert?
Es gibt ja Taylor-Reihen die konvergieren, aber eben nicht gegen f, so wie das Beispiel von Fred zeigt oder es auch im Forster steht.
Im Beweis über die Binomische Reihe wird ja auch erst einmal der Konvergenzbereich ermittelt und dann geprüft, ob [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} R_{n+1}(x) [/mm] = 0, sodass schlussendlich die Taylor-Reihe tatsächlich gegen f konvergiert.
Viele Grüße,
X3nion
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 30.03.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:07 So 02.04.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen,
da der Fälligkeitszeitraum abgelaufen ist, poste ich meinen Beitrag nochmals in der Hoffnung auf Antworten. Wäre euch dankbar!
VG X3nion
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Hallo Gono,
Danke für deine Antwort!
Hmm aber woher weiß man denn, dass ermittelte Taylor-Reihe gegen f konvergiert?
Es gibt ja Taylor-Reihen die konvergieren, aber eben nicht gegen f, so wie das Beispiel von Fred zeigt oder es auch im Forster steht.
Im Beweis über die Binomische Reihe wird ja auch erst einmal der Konvergenzbereich ermittelt und dann geprüft, ob $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} R_{n+1}(x) [/mm] $ = 0, sodass schlussendlich die Taylor-Reihe tatsächlich gegen f konvergiert.
Viele Grüße,
X3nion
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 04.04.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:49 Mo 27.03.2017 | | Autor: | fred97 |
>
> Da, wo die Taylorreihe
> konvergiert (hier ]0|2[ ), stimmt sie automatisch mit der
> Funktion überein. Die Restgliedabschätzung ist nur
> interessant, wenn man irgendwo die Reihe abbricht und den
> Fehler abschätzen will.
Da muss ich heftigst widersprechen. Nehmen wir z.B:
[mm] $f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für }x=0 \\ e^{-1/x^2}, & \mbox{für } x \ne 0 \end{cases}$
[/mm]
Dann ist $f [mm] \in C^{\infty}(\IR)$ [/mm] und [mm] $f^{(n)}(0)=0$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_0$.
[/mm]
Die Taylorreihe von f in 0 ist also die "Nullreihe".
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Für [mm]f(x) = \sqrt{x}[/mm] ist
[mm]f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n}{2^n} \left( \prod_{k=1}^n (2k-3) \right) \cdot x^{- \frac{2n-1}{2}} \, , \ x>0[/mm]
Die Formel gilt für jedes ganzzahlige [mm]n \geq 0[/mm], wenn man Produkte über leere Indexmengen wie üblich als 1 interpretiert.
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