Taylor-Restgliedabschätzung < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=219044&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.de%2F
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=568488
Hallo zusammen!
Ich zerbreche mir hier gerade den Kopf wegen eines Problemes, vielleicht kann jemand da weiter helfen.
Es geht um folgendes: Ich habe , was ich über das Taylor-Polynom um den Punkt 0 entwickeln will, soweit so gut. Nun möchte ich allerdings das Restglied berechnen und abschätzen, um herauszufinden, wie weit ich das Taylorpolynom entwickeln muss, damit der Restfehler nicht größer ist als ein vorgegebener Wert e, z.B: , wobei ich die Funktion nur auf dem Intervall betrachte.
Das Lagrange-Restglied konnte ich schon aufstellen:
mit zwischen x und 0.
Ich will nun also ein n finden, sodass
Sobald ich allerdings versuche, das durch Abschätzung rauszunehmen, indem ich "" wähle, also
, werden die Werte betragsmäßig viel zu groß und wachsen für z.b. x=-0.5 anscheinend ins Unendliche (habs im Taschenrechner für ein Paar Werte durchprobiert).
Sieht hier jemand vielleicht, wie man meine gewünschte Abschätzung auch anders erreichen kann, bzw. ob ich irgendwo einen Fehler gemacht habt? Oder ist dieses Restglied für große n einfach nicht gut abschätzbar?
Danke schonmal im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Sa 21.05.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo wenn du den Fehler bei x abschätzen willst dann musst du doch für den maximalen Wert x selbst einsetzen, dann bleibt [mm] |x|^{1/2} [/mm] <=0.9 und der Rest da x selbst maximal 0.750,75 maximal. also musst du nur den ersten Teil abschätzen .
Gruß leduart
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> Hallo wenn du den Fehler bei x abschätzen willst dann
> musst du doch für den maximalen Wert x selbst einsetzen,
> dann bleibt [mm]|x|^{1/2}[/mm] <=0.9 und der Rest da x selbst
> maximal 0.75 0,75 maximal. also musst du nur den ersten Teil
> abschätzen .
> Gruß leduart
Hallo leduart,
im vorliegenden Beispiel trifft es wohl zu, dass sich das
Taylorpolynom umso weiter von der Originalfunktion
entfernt, je weiter man sich von der Stützstelle x=0
entfernt.
Das muss aber nicht in jedem Fall so sein.
Man könnte aber, um deinem Vorschlag zu folgen,
zuerst Monotonieargumente vorbringen, um dann nur
am anderen Intervallende (also hier für x=-0.75)
nachrechnen zu müssen.
LG , Al
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> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=219044&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.de%2F
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=568488
>
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> Hallo zusammen!
> Ich zerbreche mir hier gerade den Kopf wegen eines
> Problemes, vielleicht kann jemand da weiter helfen.
> Es geht um folgendes: Ich habe , was ich
> über das Taylor-Polynom um den Punkt 0 entwickeln will,
> soweit so gut. Nun möchte ich allerdings das Restglied
> berechnen und abschätzen, um herauszufinden, wie weit ich
> das Taylorpolynom entwickeln muss, damit der Restfehler
> nicht größer ist als ein vorgegebener Wert e, z.B:
> , wobei ich die Funktion nur auf dem
> Intervall betrachte.
>
> Das Lagrange-Restglied konnte ich schon aufstellen:
>
>
Du hast das Restglied falsch aufgeschrieben, der Faktor [mm] x^{n+1} [/mm] ist zu viel. Außerdem hast du um x=0 entwickelt, und so mit heißt das Restglied
[mm] R_{n}f(x)=(-1)^{n}\frac{\prod\limits_{k=1}^{n}(2k-1)}{2^{n+1}(n+1)!}(\xi)^{n+1}
[/mm]
Wenn du jetzt mit [mm] \xi=1 [/mm] abschätzt, müsstest du einen vernünftigen Wert erhalten.
Deine Taylorreihe müsste heißen:
[mm] 1+\summe_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}\frac{\prod\limits_{k=1}^{i-1}(2k-1)}{2^{i}(i)!}(x)^i
[/mm]
Da die Vorzeichen erst ab der ersten Ableitung alternieren, muss man die 1 als erstes Glied herausnehmen.
> mit zwischen x und 0.
>
> Ich will nun also ein n finden, sodass
>
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>
> Sobald ich allerdings versuche, das durch Abschätzung
> rauszunehmen, indem ich "" wähle, also
>
> ,
> werden die Werte betragsmäßig viel zu groß und wachsen
> für z.b. x=-0.5 anscheinend ins Unendliche (habs im
> Taschenrechner für ein Paar Werte durchprobiert).
> Sieht hier jemand vielleicht, wie man meine gewünschte
> Abschätzung auch anders erreichen kann, bzw. ob ich
> irgendwo einen Fehler gemacht habt? Oder ist dieses
> Restglied für große n einfach nicht gut abschätzbar?
> Danke schonmal im Voraus.
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