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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Mi 01.09.2004 | | Autor: | komul |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt. 
Taach,
Ich habe folgende Funktion:
f: (0; [mm] \infty) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit f(x)= ln [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
um x=1
Gesucht ist das Taylorpolynom vom Grade 2 und die Näherung von ln(0,9)
Als Taylorpolynom vom Grade 2 habe ich:
-(x-1)+0,5(x-1)²
dies Entspricht der Musterlösung.
Die Lösung der Berechnung der Näherung ist laut Musterlösung =(-0,105)
Ich wäre sehr dankbar wenn mir das jemand erklären könnte wie man darauf kommt...
Gruß Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Mi 01.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Christian
aus der Fragestellung schliesse ich, dass lediglich der errechnete Näherungswert nicht klar ist.
>
> f: (0; [mm]\infty)[/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit f(x)= ln [mm]\bruch{1}{x}
[/mm]
>
> um x=1
>
> Gesucht ist das Taylorpolynom vom Grade 2 und die Näherung
> von ln(0,9)
>
> Als Taylorpolynom vom Grade 2 habe ich:
>
> -(x-1)+0,5(x-1)²
>
> dies Entspricht der Musterlösung.
>
> Die Lösung der Berechnung der Näherung ist laut
> Musterlösung =(-0,105)
>
> Ich wäre sehr dankbar wenn mir das jemand erklären könnte
> wie man darauf kommt...
>
Nun, wenn die Näherungsformel für [mm] $ln{\bruch{1}{x}}$ [/mm] bekannt ist, dann muss doch als erstes nur herausgefunden werden, welcher Wert für x denn einzusetzen ist, damit
[mm] $\bruch{1}{x}= [/mm] 0.9$
ist.
Mit $0.9 = [mm] \bruch{9}{10}$ [/mm] erhalte ich:
[mm] $\bruch{1}{x}=\bruch{9}{10}$
[/mm]
Also:$ [mm] x=\bruch{10}{9}$
[/mm]
Somit ist [mm] $x-1=\bruch{1}{9}$
[/mm]
Dies in der Näherungsformel eingesetzt:
[mm] $-\bruch{1}{9}+\bruch{1}{2*81}=-\bruch{17}{162}$
[/mm]
Nach meinem Taschenrechner ist das etwa der von dir angegebene Wert:
$-0.104938...$
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mi 01.09.2004 | | Autor: | komul |
Danke, ich verstehe was du gemacht hast. Ich habe aber noch ein kleines Problem. Die meisten mir vorliegenden Aufgaben sehen in etwa so aus:
Von einer Funktion f: [mm] \IR+ [/mm] -> [mm] \IR [/mm] sei bekannt:
f(2)=0
f´(x)= [mm] \bruch{8}{x} [/mm] exp[2- [mm] \bruch{x²}{2}]
[/mm]
a) das Taylorpolynom des Grade 2 um x=2 ist hier
4*(x-2)-5*(x-2)²
b) Berechnen sie die Näherung von f(2,2)
da muss ich dann nur noch die 2,2 in das Taylorpolynom einsetzten und voila, ich habe meine Näherung(=0,6).
Warum funktioniert das in der ersten Aufgabe nicht so? Einfach 0,9 einsetzen führt zu dem Ergebnis 0,105 und ist zwar irgendwie sehr ähnlich aber dennoch nicht dasselbe wie -0,105.
Noch mal Danke für die schnelle Antwort
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Mi 01.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Christian
entschuldige, ich habe in meiner 1. Antwort ganz übersehen, dass du neu bist hier im Matheraum und dich gar nicht richtig begrüsst. Das sei nun nachgeholt:
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Danke, ich verstehe was du gemacht hast. Ich habe aber noch
Das freut mich!
> ein kleines Problem. Die meisten mir vorliegenden Aufgaben
> sehen in etwa so aus:
>
>
> Von einer Funktion f: [mm]\IR+[/mm] -> [mm]\IR[/mm] sei bekannt:
> f(2)=0
> f´(x)= [mm]\bruch{8}{x}[/mm] exp[2- [mm]\bruch{x²}{2}]
[/mm]
>
> a) das Taylorpolynom des Grade 2 um x=2 ist hier
>
>
> 4*(x-2)-5*(x-2)²
>
> b) Berechnen sie die Näherung von f(2,2)
>
> da muss ich dann nur noch die 2,2 in das Taylorpolynom
> einsetzten und voila, ich habe meine Näherung(=0,6).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, das ist alles korrekt.
> Warum funktioniert das in der ersten Aufgabe nicht so?
> Einfach 0,9 einsetzen führt zu dem Ergebnis 0,105 und ist
> zwar irgendwie sehr ähnlich aber dennoch nicht dasselbe wie
> -0,105.
>
Der Unterschied liegt hier, dass für das Taylor-Plynom nicht direkt eine Funktion $f(x)$ vorgelegt worden ist, sondern [mm] $f(\bruch{1}{x})$, [/mm] nämlich
[mm] $\ln (\bruch{1}{x})$
[/mm]
Wenn man also $ln [mm] (\bruch{9}{10})$ [/mm] anzunähern hat, dann bedeutet dies eben, dass nicht $x$ den Wert [mm] $\bruch{9}{10}$ [/mm] annimmt, sondern [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] tut dieses.
Man hätte stattdessen übrigens auch einfach so argumentieren können:
[mm] $\ln (\bruch{1}{x}) [/mm] = [mm] -\ln [/mm] (x)$
Dann hättest du ganz einfach [mm] $\bruch{9}{10}$ [/mm] einsetzen dürfen, das Resultat hätte aber noch negiert werden müssen (womit auch die dir aufgefallene Aehnlichkeit der Resultate erklärt wäre). Das funktioniert aber nur für Funktionen, bei denen gilt: [mm] $f(\bruch{1}{x}) [/mm] = -f(x)$, wie das beim Logarithmus der Fall ist.
Ist jetzt alles klar?
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Mi 01.09.2004 | | Autor: | komul |
Danke, freu mich auch euch gefunden zu haben
Ja, jetzt habe ich es verstanden. Danke für deine Hilfe!
Gruß Christian
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