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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
| Aufgabe | a)Bestimmen Sie für die Funktion
[mm] f(x)=exp(2-(1/2)x^2), [/mm] x [mm] \in \I, [/mm]
und die Entwicklungsstelle x0=-2 die Taylor-Polynome T0(x), T1(x), T2(x) und T3(x)
b) Zeichnen Sie zwei Diagramme, in die Sie den Graphen von f(x) sowie alle Graphen von T0(x), T1(x), T2(x), T3(x) gemeinsam eintragen und zwar einmal über dem Intervall (-3,-1) und einmal über dem Intervall (-7,3)
c) Ist f: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] nach unten beschränkt? Ist f: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] nach oben beschränkt? Sind die Tj: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR, [/mm] j= 0,1,2,3, nach unten beschränkt? Sind die Tj: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR, [/mm] j= 0,1,2,3, nach oben beschränkt? Begründen Sie Ihre Antworten. |
Ich weiß nicht, wie ich vorgehen soll. Ich bereite mich im Moment auf meine Klausur vor und komme beim Üben mit der folgenden Aufgabe nicht klar. Für Ansätze wäre ich sehr dankbar. Danke schonmal.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Mo 10.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Das mußt Du doch gehabt haben: das n-te Taylorpolynom an der Entwicklungstelle [mm] x_0 [/mm] ist
$ [mm] T_n(x) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n {f^{(k)}(x_0) \over k!}(x-x_0)^k$
[/mm]
Nun mußt Du doch nur noch rechnen !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ich war eine lange Zeit aus gesundheitlichen Gründen nicht in den Vorlesungen, deshalb habe ich den Faden verloren, könntest du mir vielleicht erklären, wie ich das berechne?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Kann mir bitte jemand helfen?:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Scharii |
[mm] T_n(x) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n {f^{(k)}(x_0) \over k!}(x-x_0)^k
[/mm]
[mm] f^{(k)} [/mm] ist die k-te ableitung.
Für [mm] T_0(x) [/mm] = [mm] \frac{f(x_0)}{ 0!} [/mm] = [mm] f(x_0)=f(-2)
[/mm]
mit [mm] x_0= [/mm] -2
Für [mm] T_1(x)= \frac{f(x_0)}{ 0!} [/mm] + [mm] \frac{f^{1}(x_0)}{1!} (x-x_0)= f(x_0)+ f^{1}(x_0)(x-x_0)=f(-2)+f^{1}(-2)(x-(-2))
[/mm]
Für [mm] T_2(x) [/mm] ebenso weiter...
Hoffe das hilft.
Deine Aufgabe ist da das ableiten von f, und das ausrechnen am konkreten Punkt -2
Damit kannst du dann die Graphen zeichnen (und hoffentlich die (un)-beschränktheit der Funktionen sehen)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Für T3(x)= f(x0)/0! + [mm] f^1 [/mm] (x0)/ 1! (x-x0) + [mm] f^2(x0)/ [/mm] 2! (x-x0) = [mm] f(x0)+f^1(x0)(x-x0)+f^2 [/mm] (x0) (x-x0) = f(-2) + [mm] f^1(-2)(x-(-2))+f^2(-2)(x-(-2))
[/mm]
Ist das so richtig? Übrigens vielen Dank, ich habe es verstanden :)
zu b) muss ich für x beliebige Zahlen einsetzen und dann den Graphen zeichnen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Muss ich bei a) die Ableitungen bilden und dann die Entwicklungsstelle x0=-2 jeweils in die Ableitungen einsetzen ?
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Hallo Bilmem,
> Muss ich bei a) die Ableitungen bilden und dann die
> Entwicklungsstelle x0=-2 jeweils in die Ableitungen
> einsetzen ?
Ja.
Gruss
MathePower
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Hallo Bilmem,
> Für T3(x)= f(x0)/0! + [mm]f^1[/mm] (x0)/ 1! (x-x0) + [mm]f^2(x0)/[/mm] 2!
> (x-x0) = [mm]f(x0)+f^1(x0)(x-x0)+f^2[/mm] (x0) (x-x0) = f(-2) +
> [mm]f^1(-2)(x-(-2))+f^2(-2)(x-(-2))[/mm]
>
> Ist das so richtig? Übrigens vielen Dank, ich habe es
> verstanden :)
So ist das richtig:
[mm]T_{3}\left(x\right)=f\left(-2\right)+f^{\left(1\right)}\left(-2\right)*\left( \ x-\left(-2\right) \ \right)+\bruch{f^{\left(2\right)}\left(-2\right)}{2}*\left( \ x-\left(-2\right) \ \right)^{2}+\bruch{f^{\left(3\right)}\left(-2\right)}{6}*\left( \ x-\left(-2\right) \ \right)^{3}[/mm]
>
> zu b) muss ich für x beliebige Zahlen einsetzen und dann
> den Graphen zeichnen?
Ja, das ist sinnvoll.
Gruss
MathePower
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