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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Do 02.06.2011 | | Autor: | yuppi |
| Aufgabe | Beweisen Sie mittels des Satzes von Taylor für alle x größer gleich 0 die Ungleichung:
[mm] \parallel \wurzel[3]{x+1}-1- \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{9}x^2\parallel \le \bruch{5}{81}x^3 [/mm] |
Hallo Zusammen,
die folgende Aufgabe war eine Klausuraufgabe. Mir wäre allerdings nicht klar was der Entwicklungspunkt wäre und wie oft ich differenzieren muss.
Eine identische Aufgabe habe ich bereits in meinen Übungen gesehen und dort ist es genau so . Bei beiden wurde 3 mal differenziert und 0 als Entwicklungspunkt gewählt. Ist das immer so ?
Besten gruß yuppi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Do 02.06.2011 | | Autor: | yuppi |
Hallo.
Die zweite Frage hätte ich was vergessen.
Woher weiß man genau, dass f(x)= [mm] \parallel \wurzel[3]{x+1} [/mm] ist ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Do 02.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
da steht doch ne Abschätzung von f(x)= $ [mm] \parallel \wurzel[3]{x+1} [/mm] $
aber natürlich kannst du auch den ganzen linken Ausdruck nach T. entwickeln, das ergebnis ist dasselbe, da die Taylorentw, eines Polynoms = dem Polynom ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Do 02.06.2011 | | Autor: | yuppi |
Ja danke dir, das ist mir klar. Aber woher weiß man sofort das nur der Wuzelausdruck die Abschätzung ist.?
Gruß yuppi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Do 02.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
bring den Rest auf die andere seite, dann siehst dus, oder entwickle eben einfach dir linke seite insgesamt, das ist dasselbe ergebnis.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Do 02.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nein, man muss nicht immer um 0 und bis zum Grad 3 entwickeln. manchmal ist das auch gar nicht möglich, z.B. kannst du ln(x) nicht um 0 entwickeln.
Bei deiner Aufgabe wird [mm] \wurzel[3]{x+1} [/mm] entwickelt.
Dass das um [mm] x_0=0 [/mm] passiert kannst du daran sehen, dass dort eine 1 steht [mm] (\wurzel[3]{0+1}=1). [/mm] Dass bas zum Grad 2 entwickelt wurde, siehst du daran, dass eben [mm] x^2 [/mm] die höchste Potenz von x ist.
Außerdem ist bei dem [mm] \frac{1}{3} [/mm] sicher noch ein x hinter, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Do 02.06.2011 | | Autor: | yuppi |
;;dass das um passiert kannst du daran sehen, dass dort eine 1 steht ´´
Also muss ich den Entwicklunspunkt immer so wählen, dass f(x)=1 ist, oder wie soll ich dich verstehen ?
Vielen Dank für die Antwort ;)
LG Yuppi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Do 02.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Nein, aber in dem Fall ist zufällig f(0)=1.
Wäre [mm] f(x)=\wurzel[3]{x+2}, [/mm] wo würde die Entwicklung um 0 mit 2 statt 1 beginnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Do 02.06.2011 | | Autor: | yuppi |
Hi,
ich verstehe leider den letzten Satz nicht... Wie meinstu du das jetzt ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Do 02.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Die 1 steht ja da, weil f(0)=1 ist. Wäre [mm] f(x)=\wurzel[3]{x+2}, [/mm] so wäre f(0)=2 und es würde eine 2 in der Aufgabe stehen statt der 1.
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