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TaylorReihe: Hilfe, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:33 Do 06.10.2011
Autor: Carlo

Aufgabe
Geben Sie die Taylor-Reihe der für x>2 durch f(x) = ln(x-2) definierten reellen Funktion f an der Entwicklungsstelle [mm] x_0= [/mm] 7 an.

Hallo :-)

Ich muss doch erstmal die Ableitungen bilden oder ?


f'(x) = [mm] \bruch{1}{x-2} [/mm] ; f''(x) = - [mm] \bruch{1}{(x-2)^2} [/mm] ; f'''(x) = [mm] \bruch{2}{(x-2)^3} [/mm] ; ....

Weiter weiß ich leider nicht, ich würde jetzt

f^(^k^) (x) = - [mm] \bruch{1}{(x-2)^k} [/mm] für k=0,1,2,... sagen und die Entwicklungsstelle in die Funktion einsetzen, aber das ist bestimmt falsch.

        
Bezug
TaylorReihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:42 Do 06.10.2011
Autor: reverend

Hallo carlo,

> Geben Sie die Taylor-Reihe der für x>2 durch f(x) =
> ln(x-2) definierten reellen Funktion f an der
> Entwicklungsstelle [mm]x_0=[/mm] 7 an.
>  Hallo :-)
>
> Ich muss doch erstmal die Ableitungen bilden oder ?

Guter Plan.

> f'(x) = [mm]\bruch{1}{x-2}[/mm] ; f''(x) = - [mm]\bruch{1}{(x-2)^2}[/mm] ;
> f'''(x) = [mm]\bruch{2}{(x-2)^3}[/mm] ; ....

Bis hier noch gut. Achte mal auf den Zähler.

> Weiter weiß ich leider nicht, ich würde jetzt
>  
> f^(^k^) (x) = - [mm]\bruch{1}{(x-2)^k}[/mm] für k=0,1,2,... sagen

Nee. Sind Deine Ableitungen oben denn alle negativ? Und wie war das mit dem Zähler?

> und die Entwicklungsstelle in die Funktion einsetzen, aber
> das ist bestimmt falsch.

Na, wie das weitergeht, kannst Du ja leicht []nachschlagen, oder?

Grüße
reverend


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Bezug
TaylorReihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:53 Do 06.10.2011
Autor: Carlo

Hallo reverend,

>  
> > f'(x) = [mm]\bruch{1}{x-2}[/mm] ; f''(x) = - [mm]\bruch{1}{(x-2)^2}[/mm] ;
> > f'''(x) = [mm]\bruch{2}{(x-2)^3}[/mm] ; ....
>  
> Bis hier noch gut. Achte mal auf den Zähler.
>  
> > Weiter weiß ich leider nicht, ich würde jetzt
>  >  
> > f^(^k^) (x) = - [mm]\bruch{1}{(x-2)^k}[/mm] für k=0,1,2,... sagen
>
> Nee. Sind Deine Ableitungen oben denn alle negativ? Und wie
> war das mit dem Zähler?


Nein, die Ableitungen sind einmal negativ und einmal positiv und es geht immer so weiter. Ich weiß nicht, wie ich das darstellen soll. :S


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TaylorReihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:31 Do 06.10.2011
Autor: reverend

Hallo Carlo,

> > > f'(x) = [mm]\bruch{1}{x-2}[/mm] ; f''(x) = - [mm]\bruch{1}{(x-2)^2}[/mm] ;
> > > f'''(x) = [mm]\bruch{2}{(x-2)^3}[/mm] ; ....
>  >  
> > Bis hier noch gut. Achte mal auf den Zähler.
>  >  
> > > Weiter weiß ich leider nicht, ich würde jetzt
>  >  >  
> > > f^(^k^) (x) = - [mm]\bruch{1}{(x-2)^k}[/mm] für k=0,1,2,... sagen
> >
> > Nee. Sind Deine Ableitungen oben denn alle negativ? Und wie
> > war das mit dem Zähler?
>
> Nein, die Ableitungen sind einmal negativ und einmal
> positiv und es geht immer so weiter.

So ist es.

> Ich weiß nicht, wie
> ich das darstellen soll. :S

Nehmen wir mal an, es sei [mm] f^{(n)}(x)=\bruch{a}{(x-2)^{n}} [/mm]

Dann ist offenbar [mm] f^{(n+1)}(x)=-\bruch{n*a}{(x-2)^{n+1}} [/mm]

Soweit die rekursive Darstellung. Wenn Du das nun mit Deinen ersten paar Ableitungen vergleichst, kommst du schnell darauf, dass

[mm] f^{n}=(-1)^{n+1}*\bruch{a(n)}{(x-2)^n} [/mm] ist.

Es bleibt aber noch a(n) zu bestimmen. Und wir wissen, dass a(n+1)=n*a(n) ist.

Also ist für n>1
[mm] a(n)=\produkt_{i=1}^{n-1}i [/mm]

Die rechte Seite taucht so oft in Gleichungen auf, dass es dafür eine eigene Schreibweise gibt!!! Und so, wie die definiert ist, kannst Du die gleiche Schreibweise sogar auf alle n (incl. n=1) ausdehnen!
So, genug Ausrufungszeichen. ;-)

Grüße
reverend


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TaylorReihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:47 Do 06.10.2011
Autor: fred97

So gehts auch:

Es ist

  $f'(x) =  [mm] \bruch{1}{x-2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5}*\bruch{1}{\bruch{x-7}{5}+1}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{(x-7)^n}{5^{n+1}} [/mm] $  für |x-7|<5.

Jetzt noch einmal integrieren.

FRED

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TaylorReihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 Do 13.10.2011
Autor: Carlo

Ich versteh ja, dass du das ganze mit der harmonischen Reihe versucht hast, aber woher kommt das 1/5 her. Das kann ich nicht nachvollziehen.

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TaylorReihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Do 13.10.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Carlo,


> Ich versteh ja, dass du das ganze mit der harmonischen
> Reihe

[haee] wohl eher mit der geometrischen Reihe [idee]

> versucht hast, aber woher kommt das 1/5 her. Das kann
> ich nicht nachvollziehen.

Da du um [mm]x_0=7[/mm] entwickeln sollst, musst du nachher in der Reihe ja irgendwas mit [mm](x-7)^n[/mm] dastehen haben.

Daher wird im Nenner gebastelt:

Nur der Nenner: [mm]x-2=x\red{-7+7}-2=(x-7)+5=5\cdot{}\left(\frac{x-7}{5}+1\right)}=5\cdot{}\left[1-\left(-\frac{x-7}{5}\right)\right][/mm]

Also [mm]\frac{1}{x-2}=\frac{1}{5}\cdot{}\frac{1}{1-\left(-\frac{x-7}{5}\right)}[/mm]

[mm]=\frac{1}{5}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x-7}{5}\right)^n[/mm] für [mm]\left|-\frac{x-7}{5}\right|<1[/mm] nach Formel für die geometr. Reihe.

Kommst du nun auf Freds "Endausdruck"?

Gruß

schachuzipus


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TaylorReihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 Do 13.10.2011
Autor: Carlo

Ehrlich gesagt, immer noch nicht.

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TaylorReihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 Do 13.10.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Ehrlich gesagt, immer noch nicht.

warum nicht?

Du brauchst doch nur stadtbekannte Potenzgesetze anzuwenden:

[mm] $(a\cdot{}b)^n=a^n\cdot{}b^n$ [/mm] und [mm] $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ [/mm]

Die [mm] $\frac{1}{5}$ [/mm] kannst du am Ende in die Reihe reinmultiplizieren.

Gruß

schachuzipus


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TaylorReihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:53 Do 13.10.2011
Autor: Carlo

Um genau zu sein versteh ich diesen Schritt nicht:

[mm] \bruch{1}{5}\cdot{}\bruch{1}{\bruch{x-7}{5}+1}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{(x-7)^n}{5^{n+1}} [/mm]


woher kommt plötzlich [mm] (-1)^n [/mm] und auch der restliche Teil leuchtet mir nicht wirklich ein..

Bezug
                                                        
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TaylorReihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Do 13.10.2011
Autor: schachuzipus

Hallo,


> Um genau zu sein versteh ich diesen Schritt nicht:
>  
> [mm]\bruch{1}{5}\cdot{}\bruch{1}{\bruch{x-7}{5}+1}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{(x-7)^n}{5^{n+1}}[/mm]
>  
>
> woher kommt plötzlich [mm](-1)^n[/mm] und auch der restliche Teil
> leuchtet mir nicht wirklich ein..

Ich habe es doch extra oben hingeschrieben. Hast du das nicht gelesen??!


Erstmal ist das [mm] $...=\frac{1}{5}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x-7}{5}\right)^n$ [/mm]

Nun wende mal wie erwähnt die Potenzgesetze an und schreibe die Klammer um

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                
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TaylorReihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Do 13.10.2011
Autor: Carlo

okay, aber eine Frage vorab:

wie kommt man von

[mm] \bruch{1}{5}\cdot{}\bruch{1}{\bruch{x-7}{5}+1}=\frac{1}{5}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x-7}{5}\right)^n [/mm]

??

Danach hat man das Potenzgesetz [mm] (a/b)^n [/mm] = [mm] a^n [/mm] / [mm] b^n [/mm] angewandt stimmts?

[mm] \frac{1}{5}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{(x-7)^n}{5^n}\right) [/mm]


da hörts wieder auf..

Bezug
                                                                        
Bezug
TaylorReihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Do 13.10.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> okay, aber eine Frage vorab:
>  
> wie kommt man von
>
> [mm]\bruch{1}{5}\cdot{}\bruch{1}{\bruch{x-7}{5}+1}=\frac{1}{5}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x-7}{5}\right)^n[/mm]
>
> ??
>  
> Danach hat man das Potenzgesetz [mm](a/b)^n[/mm] = [mm]a^n[/mm] / [mm]b^n[/mm]
> angewandt stimmts?
>  
> [mm]\frac{1}{5}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{(x-7)^n}{5^n}\right)[/mm]
>  
>
> da hörts wieder auf..

Mann, Mann ...

[mm]\left(-\frac{x-7}{5}\right)^n=\left[(-1)\cdot{}\frac{x-7}{5}\right]^n=\left(\frac{-1}{5}\cdot{}(x-7)\right)^n=\left(\frac{-1}{5}\right)^n\cdot{}(x-7)^n=\frac{(-1)^n}{5^n}\cdot{}(x-7)^n[/mm]

Das passiert in der Summe; dann noch die [mm]\frac{1}{5}[/mm] reinmultiplizieren, das macht aus dem [mm]\frac{1}{5^n}[/mm] dann [mm]\frac{1}{5}\cdot{}\frac{1}{5^n}=\frac{1}{5^{n+1}}[/mm]

Gruß

schachuzipus


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TaylorReihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:31 Do 13.10.2011
Autor: Carlo

Danke für deine Geduld!

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