Taylor Entwicklung 1/(1+sinx) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] f(x) = \frac{1}{1+sin(x)}; \text{Taylor-Entwicklung bis} x^4 [/mm] |
hi
wir haben in der Vorlesung obiges Beispiel zur Taylor-Entwicklung gemacht. Wie das oft so ist, vor lauter Mitschreiben kommt man kaum zum Denken bzw Zuhören. Nun verstehe ich also einen Schritt in diesem Beispiel nicht. Dabei ist großes O das Landau Symbol
Zunächst haben wir das ganze auf die geo. Reihe zurückgeführt, also [mm] g(x) = \frac{1}{1+x} = \sum_0^\infty{(-x)}^k \text{und daraus folgt dann: } f(x) = g(sin(x)); \text{die Reihe des Sinus wird als bekannt gegeben: } sin(x) = x - \frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120} = x-\frac{x^3}{6} + O(x^4)
[/mm]
Hier meine erste Frage: Warum wird der letzte Summand durch das Restglied ersetzt? Weil die Entwicklung nur bis [mm] x^4 [/mm] gehen soll?
ok, und dann wird eingesetzt:
[mm] f(x) = 1-(sinx)+(sinx)^2-(sinx)^3+(sinx)^4+O(sinx)^5= [/mm]
[mm]=1-(x-\frac{x^3}{6}+O(x^4)) + (x-\frac{x^3}{6}+O(x^4))^2-(x-\frac{x^3}{6}+O(x^4))^3+(x-\frac{x^3}{6}+O(x^4))^4+O(sinx)^5 = [/mm]
[mm]= 1-(x-\frac{x^3}{6}+O(x^4))+(x^2-\frac{x^4}{3}+O(x^5))-(x^3-\frac{x^4}{2}+O(x^5))+(x^4+O(x^5))+ O(x^5) = [/mm]
[mm]= 1-x+\frac{x^3}{6} + x^2-\frac{x^4}{3}-x^3+\frac{x^4}{2}+x^4 + O(x^5)
[/mm]
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob die Potenzen beim Landau Symbol immer exakt sind, die waren irgendwann so klein und unleserlich...
Ich verstehe nun überhaupt nicht, wie man von der 2. auf die 3. Zeile kommt... Das ist ja nun nicht einfach ausmultipliziert. Oder übersehe ich hier was total offensichtliches? Oder steckt doch ein wundersamer Trick dahinter?? ![[help]](/images/smileys/help.gif "[help]")
für eine Erklärung wäre ich wirklich SEHR dankbar 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> [mm]sin(x) = x - \frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120} = x-\frac{x^3}{6} + O(x^4)[/mm]
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> Hier meine erste Frage: Warum wird der letzte Summand durch
> das Restglied ersetzt? Weil die Entwicklung nur bis [mm]x^4[/mm]
> gehen soll?
Also ich vermute mal, du hast da ein +... vergessen, denn der Sinus läßt sich ja nicht nur durch 3 Summanden darstellen, sondern durch eine Reihe, also die Zeile müsste dann eigentlich heissen:
[mm]sin(x) = x - \frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120} - .... = x-\frac{x^3}{6} + O(x^4)[/mm]
Und alles nach [mm] \frac{x^3}{6} [/mm] steckt dann im [mm] O(x^4).
[/mm]
> Ich verstehe nun überhaupt nicht, wie man von der 2. auf
> die 3. Zeile kommt... Das ist ja nun nicht einfach
> ausmultipliziert. Oder übersehe ich hier was total
> offensichtliches?
Da ist eigentlich nix schweres bei, ich erkläre es dir mal am Beispiel der zweiten Klammer:
[mm](x - \bruch{x^3}{6} + O(x^4))^2
= x^2 - \bruch{x^4}{3} + \bruch{x^6}{36} + \bruch{x^3}{3}O(x^4) + 2xO(x^4) + O(x^4)^2
=x^2 - \bruch{x^4}{3} + \bruch{x^6}{36} + O(x^7) + O(x^5) + O(x^8)
=x^2 - \bruch{x^4}{3} + O(x^4)[/mm]
Also letztlich wird sauber ausmultipliziert und dann alles was von der Potenz her grösser ist als [mm] x^4 [/mm] mit ins [mm] O(x^4) [/mm] geschmissen.
MfG,
Gono.
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> Hiho,
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> > [mm]sin(x) = x - \frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120} = x-\frac{x^3}{6} + O(x^4)[/mm]
>
> >
> > Hier meine erste Frage: Warum wird der letzte Summand durch
> > das Restglied ersetzt? Weil die Entwicklung nur bis [mm]x^4[/mm]
> > gehen soll?
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> Also ich vermute mal, du hast da ein +... vergessen, denn
> der Sinus läßt sich ja nicht nur durch 3 Summanden
> darstellen, sondern durch eine Reihe, also die Zeile müsste
> dann eigentlich heissen:
>
>
> [mm]sin(x) = x - \frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120} - .... = x-\frac{x^3}{6} + O(x^4)[/mm]
>
> Und alles nach [mm]\frac{x^3}{6}[/mm] steckt dann im [mm]O(x^4).[/mm]
>
ja ok, so macht das sinn
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> > Ich verstehe nun überhaupt nicht, wie man von der 2. auf
> > die 3. Zeile kommt... Das ist ja nun nicht einfach
> > ausmultipliziert. Oder übersehe ich hier was total
> > offensichtliches?
>
>
> Da ist eigentlich nix schweres bei, ich erkläre es dir mal
> am Beispiel der zweiten Klammer:
>
> [mm](x - \bruch{x^3}{6} + O(x^4))^2
= x^2 - \bruch{x^4}{3} + \bruch{x^6}{36} + \bruch{x^3}{3}O(x^4) + 2xO(x^4) + O(x^4)^2
=x^2 - \bruch{x^4}{3} + \bruch{x^6}{36} + O(x^7) + O(x^5) + O(x^8)
=x^2 - \bruch{x^4}{3} + O(x^4)[/mm]
>
>
> Also letztlich wird sauber ausmultipliziert und dann alles
> was von der Potenz her grösser ist als [mm]x^4[/mm] mit ins [mm]O(x^4)[/mm]
> geschmissen.
>
ah super, tausend dank!! das mit dem Restglied habe ich wohl doch noch nicht 100%ig verstanden, mir war nicht klar, dass man da alles mit ner höheren Potenz "reinschmeißen" darf - das ist ja praktisch  aber jetzt ist mir denke ich klar, wie man auf diese Zeile kommt - werde es gleich mal mit den anderen Summanden ausprobieren.
Danke, hast mir sehr geholfen!!
> MfG,
> Gono.
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also, ich habe das jetzt mal mit dem nächsten term probiert, hänge aber schon wieder... hier meine rechnung
[mm] $(x-\frac{x^3}{6} [/mm] + [mm] O(x^4))^3 [/mm] = [mm] (x-\frac{x^3}{6} [/mm] + [mm] O(x^4))^2 [/mm] * [mm] (x-\frac{x^3}{6} [/mm] + [mm] O(x^4)) [/mm] = $
$ [mm] =(x^2 [/mm] - [mm] \frac{x^4}{3} [/mm] + [mm] O(x^4)) [/mm] * [mm] ((x-\frac{x^3}{6} [/mm] + [mm] O(x^4)) [/mm] =$
$= [mm] x^3-\frac{x^5}{6}+x^2*O(x^4) [/mm] - [mm] \frac{x^5}{3} [/mm] + [mm] \frac{x^7}{18}-x^4*O(x^4) +x*O(x^4) [/mm] - [mm] \frac{x^3}{6}*O(x^4) [/mm] + [mm] O(x^4)^2 [/mm] =$
[mm] $=x^3 -\frac{x^5}{2}+\frac{x^7}{18}+O(x^6)-O(x^8)+O(x^5)-O(x^7)+O(x^8)=$
[/mm]
[mm] $=x^3 [/mm] + [mm] O(x^4)$
[/mm]
Im Vergleich zu meiner Mitschrift fehlt im Ergebnis ein [mm] $\frac{x^4}{2}$ [/mm] - wo hab ich das verloren ??
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> Im Vergleich zu meiner Mitschrift fehlt im Ergebnis ein
> [mm]\frac{x^4}{2}[/mm] - wo hab ich das verloren ??
Im richtigen Rechenschritt im Gegensatz zu deinem Prof :-D
Im Summand [mm] (...)^3 [/mm] kommt ein [mm] \bruch{x^5}{2} [/mm] vor und kein [mm] \bruch{x^4}{2}, [/mm] darum rutscht es bei dir mit ins [mm] O(x^5), [/mm] bei deinem Prof allerdings nicht und zieht sich bis zum Ende durch.
Was so ein kleiner Schreibfehler bei einer Potenz alles ausmachen kann.
MfG,
Gono.
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oh ok - na dann ist ja alles in ordnung
vielen dank nochmal
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