Taylor Polynom, Restglied < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Entwickle die Funktion [mm] f:IR^2-->IR, f(x,y)=xe^{x-y} [/mm] im Punkt (0,0) nach der Taylor-Formel bis zur zweiten Ordnung und gib das Restglied 3. Ordnung explizit an. |
Hallo,
ich habe:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] (0,0)=1
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] (0,0)=0
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2} [/mm] (0,0)=2
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y^2} [/mm] (0,0)=0
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y} [/mm] (0,0)=-1
Und damit [mm] T(x,y)=x^2-xy+x [/mm] als Taylor-Polynom
Für das Restglied erhalte ich 1/3 [mm] exp(\theta(x-y))
[/mm]
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Hallo rollroll,
> Entwickle die Funktion [mm]f:IR^2-->IR, f(x,y)=xe^{x-y}[/mm] im
> Punkt (0,0) nach der Taylor-Formel bis zur zweiten Ordnung
> und gib das Restglied 3. Ordnung explizit an.
> Hallo,
>
> ich habe:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] (0,0)=1
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (0,0)=0
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}[/mm] (0,0)=2
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}[/mm] (0,0)=0
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/mm] (0,0)=-1
>
> Und damit [mm]T(x,y)=x^2-xy+x[/mm] als Taylor-Polynom
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für das Restglied erhalte ich 1/3 [mm]exp(\theta(x-y))[/mm]
Wie kommst Du darauf?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
[mm] \bruch{\partial^3 f}{\partial x^3} [/mm] (x,y)=exp(x-y)(3+x)
[mm] \bruch{\partial^3 f}{\partial y^3} [/mm] (x,y)=-xexp(x-y)
[mm] \bruch{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2} [/mm] (x,y)=exp(x-y)(1+x)
[mm] \bruch{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y} [/mm] (x,y)=-exp(x-y)(2+x)
Das eingesetzt und zusammengefasst. (wobei (0,0)+ [mm] \theta [/mm] ((x,y)-(0,0)) = [mm] \theta(x,y)
[/mm]
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Hallo rollroll,
> [mm]\bruch{\partial^3 f}{\partial x^3}[/mm] (x,y)=exp(x-y)(3+x)
> [mm]\bruch{\partial^3 f}{\partial y^3}[/mm] (x,y)=-xexp(x-y)
> [mm]\bruch{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2}[/mm]
> (x,y)=exp(x-y)(1+x)
> [mm]\bruch{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y}[/mm]
> (x,y)=-exp(x-y)(2+x)
>
> Das eingesetzt und zusammengefasst. (wobei (0,0)+ [mm]\theta[/mm]
> ((x,y)-(0,0)) = [mm]\theta(x,y)[/mm]
Eingesetzt? In welche Formel?
Etwa in eine von ![[]](/images/popup.gif) diesen hier?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Ja, in die gewöhnliche Restglied-Formel
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Hallo rollroll,
> Ja, in die gewöhnliche Restglied-Formel
Ok, dann mag das Restglied stimmen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Das hört sich so skeptisch an, bist du anderer Meinung?
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Hallo rollroll,
> Das hört sich so skeptisch an, bist du anderer Meinung?
Ich kann das Zustande kommen des Restgliedes nicht nachvollziehen.
Poste doch die Rechenschritte dazu.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Also:
1/6 exp( [mm] \theta [/mm] x - [mm] \theta [/mm] y) (3+ [mm] \theta [/mm] x) - 1/6 [mm] \theta [/mm] x exp( [mm] \theta [/mm] x- [mm] \theta [/mm] y) +1/6 exp( [mm] \theta [/mm] x - [mm] \theta [/mm] y) [mm] (\theta [/mm] x+1) -1/6 exp( [mm] \theta [/mm] x - [mm] \theta [/mm] y) [mm] (\theta [/mm] x +2) = 1/3 exp( [mm] \theta [/mm] x - [mm] \theta [/mm] y)
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Hallo rollroll,
> Also:
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> 1/6 exp( [mm]\theta[/mm] x - [mm]\theta[/mm] y) (3+ [mm]\theta[/mm] x) - 1/6 [mm]\theta[/mm] x
> exp( [mm]\theta[/mm] x- [mm]\theta[/mm] y) +1/6 exp( [mm]\theta[/mm] x - [mm]\theta[/mm] y)
> [mm](\theta[/mm] x+1) -1/6 exp( [mm]\theta[/mm] x - [mm]\theta[/mm] y) [mm](\theta[/mm] x +2) =
> 1/3 exp( [mm]\theta[/mm] x - [mm]\theta[/mm] y)
Muss der Faktor vor den letzten zwei Summanden nich [mm]\bruch{1}{2}[/mm] lauten?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Nicht das ich wüsste, ich hätte gehofft, dass du das weißt.
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Hallo rollroll,
> Nicht das ich wüsste, ich hätte gehofft, dass du das
> weißt.
Bei Anwendung dieser Restgliedformel
ist [mm]\alpha[/mm] ein Multiindice, d.h.
[mm]\alpha!=r! *\left(\alpha-r\right)!, \ 0 \le r \le \alpha[/mm]
,wobei [mm]\alpha[/mm] angibt, wie oft partiell abgeleitet wird,
und r wie oft dabei nach x abgeleitet wird.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Ach ja stimmt, danke!
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