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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Do 11.02.2010 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das 3. Taylorpolynom von f(x)=ln(1+sinx) an der Stelle 0.
Zeigen Sie, dass der Fehler |R| des 2. Taylorpolynom im Intervall [-0.5,0.5] [mm] \le \bruch{1}{12} [/mm] ist. |
Nabend :)
Ich habe Probleme, das Lagrange Restglied zu benutzen um damit ne Fehlerabschätzung zu machen.
Mein Taylorpolynom sieht so aus:
[mm] T_3(x;0)=x-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{6}x^3
[/mm]
Das Lagrange Restglied sieht dann so aus:
[mm] R_2(x;0)=\bruch{f^{(3)}(\xi)}{3!}(x-0)^3=\bruch{\bruch{cos\xi}{(sin\xi +1)^2}}{6}*x^3
[/mm]
Jetzt weiß ich, dass R kleiner als 1/12 sein soll und ich im [mm] \xi [/mm] im Intervall -0.5 bis 0.5 wählen muss. Meine Frage ist jetzt, wie ich konkret das [mm] \xi [/mm] wähle/abschätze. Und an welchem Punkt muss ich das Restglied überhaupt auswerten?
Danke & Schöne Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Do 11.02.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
deine Taylor-Entwicklung ist richtig. Du mußt nun den Betrag des Restgliedes abschätzen, d.h. du setzt für cos den maximal möglichen Wert und für [mm] (1+sin)^2 [/mm] den minimal möglichen Wert ein und erstetzt die Variable durch 0,5.
Einen konkreten Wert aus den Intervall [-0,5;0,5] darfst du nicht einsetzen, da diese Aussage für das ganze Intervall gelten soll.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Di 16.02.2010 | | Autor: | kappen |
Wieso ersetze ich x mit 0.5?
cos wird maximal bei 0 oder 2pi, sinus min bei 3pi/2, aber das muss ich jetzt zwischen -0.5 und 0.5 wählen, oder?
Bin mir leider noch nicht ganz sicher was ich machen muss : /
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Hallo kappen,
> Wieso ersetze ich x mit 0.5?
>
> cos wird maximal bei 0 oder 2pi, sinus min bei 3pi/2, aber
> das muss ich jetzt zwischen -0.5 und 0.5 wählen, oder?
Hier musst Du das Minimum des Sinus
im Intervall [mm]\left[-0.5;0.5\right][/mm] bestimmen.
>
> Bin mir leider noch nicht ganz sicher was ich machen muss :
> /
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Di 16.02.2010 | | Autor: | kappen |
Okay, in dem Fall ist der sinus Minimal bei -0.5, dem Randpunkt des Intervalls. Kann ich das jetzt einfach einsetzen und abschätzen?
Und an welcher Stelle muss ich das berechnen? Bereits geschrieben wurde 0.5, aber weshalb ist das so?
Danke
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Hallo kappen,
> Okay, in dem Fall ist der sinus Minimal bei -0.5, dem
> Randpunkt des Intervalls. Kann ich das jetzt einfach
> einsetzen und abschätzen?
Ja.
>
> Und an welcher Stelle muss ich das berechnen? Bereits
> geschrieben wurde 0.5, aber weshalb ist das so?
Weil das betragsmäßig der größte Wert für x ist.
>
> Danke
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Di 16.02.2010 | | Autor: | kappen |
Also wenn ich tatsächlich für [mm] \xi [/mm] -0,5 und für x 0,5 einsetze, bekomme ich einen Fehler von ca 0,021. Das ist deutlich unter dem gewünschten Wert.
Aber mein [mm] \xi [/mm] = 0,5 ist ja nur für den sinus max, nicht für cosinus und die Stelle [mm] \xi [/mm] bleibt doch die gleiche? Oder setze ich für den gesamten cosinus bzw sinus Term jeweils den größten/geringsten Term ein?
Bin leider immer noch verwirrt..
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Hallo kappen,
> Also wenn ich tatsächlich für [mm]\xi[/mm] -0,5 und für x 0,5
> einsetze, bekomme ich einen Fehler von ca 0,021. Das ist
> deutlich unter dem gewünschten Wert.
>
> Aber mein [mm]\xi[/mm] = 0,5 ist ja nur für den sinus max, nicht
> für cosinus und die Stelle [mm]\xi[/mm] bleibt doch die gleiche?
> Oder setze ich für den gesamten cosinus bzw sinus Term
> jeweils den größten/geringsten Term ein?
So ist es.
Wie zahllos schon geschrieben hat, den Zähler schätzt Du nach oben ab,
den Nenner nach unten, dann wird dieser Bruch nämlich am grössten.
Und alles im gegebenen Intervall.
>
> Bin leider immer noch verwirrt..
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Di 16.02.2010 | | Autor: | kappen |
Ich glaube ich habe Probleme mit dem Begriff abschätzen.
Der Zähler wird max 1. Der Nenner min ~ -0,5 oder Betragsmässig 0. Also [mm] \bruch{1}{\bruch{-0.5}{6}}*0.5^3 [/mm] ?
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Hallo kappen,
> Ich glaube ich habe Probleme mit dem Begriff abschätzen.
>
> Der Zähler wird max 1. Der Nenner min ~ -0,5 oder
> Betragsmässig 0. Also [mm]\bruch{1}{\bruch{-0.5}{6}}*0.5^3[/mm] ?
Im Nenner steht ein Quadrat.
Weiterhin steht die 6 auch im Nenner.
Daher ergibt sich:
[mm]\bruch{1}{6*\left(-0.5\right)^{2}}*0.5^{3}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Di 16.02.2010 | | Autor: | kalkulator |
Hallo, n'abend Kappen,
Ist es nicht so, dass du zu [mm] $T_3$ [/mm] auch das Lagrangesche Restglied [mm] $R_3$ [/mm] betrachten musst? ich glaube, Du hast [mm] $R_2$ [/mm] betrachtet.
grüße, Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 Di 16.02.2010 | | Autor: | kappen |
Nabend :)
es ist in der Aufgabe ausdrücklich erwähnt, dass ich das 2. Restglied nehmen soll, vermutlich weil ich die dritte Ableitung bereits für das 3. Taylorpolynom berechnet habe :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 Di 16.02.2010 | | Autor: | kalkulator |
Hallo Kappen,
jo, stimmt, wer lesen kann ist klar im Vorteil, und in diesem Fall war ich das wohl nicht.
mfg. Andreas
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