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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:15 Di 18.12.2007 | | Autor: | xcase |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Lösung des Anfangswertproblems x(y'(x) - 2 ) = 3y(x) mit der Anfangsbedingung y(1) = 0 indem sie eine Taylorentwicklung der Loesung um den Entwicklungspunkt [mm] x_{0} [/mm] = 1 durchfuehren. Verifizieren sie die Loesung durch Einsetzten in das Anfangsproblem.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. |
Also ne Taylorentwicklung weiss ich so einigermassen was das ist nur wie kann ich die denn hier einsetzen? Ich finde zu der Aufgabe einfach keinen Ansatz was ich machen soll. Bin jeder Hilfe dankbar :)
MfG Tomi
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Hallo!
Ich erkläre dir erstmal die grundsätzliche Idee.
Generell sieht eine taylor-Entwicklung so aus:
[mm] $y(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...$
[/mm]
Das kannst du ableiten:
[mm] $y'(x)=a_1+2a_2x+...$
[/mm]
Jetzt kannst du das mal einsetzen:
$x(y'-2)=3y$
[mm] $(a_1-2)x+2a_2x^2+...=3a_0+3a_1x+3a_2x^2+...$
[/mm]
Jetzt muß man einen Koeffizientenvergleich für die einzelnen Potenzen von x machen:
[mm] $0=3a_0$ [/mm] (links gibts kein Term ohne x)
[mm] $a_1-2=3a_1$ [/mm] also [mm] a_1=-1
[/mm]
[mm] $2a_2=3a_2$ [/mm] also [mm] a_2=0
[/mm]
...
Anscheinend gibts hier keine freien Parameter, oder sie tauchen erst in höheren Potenzen auf (was merkwürdig wäre). Schau dir mal die DGL y'=y an:
[mm] a_1+2a_2x+...=a_0+a_1x+a_2x^2+...
[/mm]
Hieraus ergibt sich:
[mm] a_0 [/mm] freier Parameter
[mm] a_1=a_0
[/mm]
[mm] a_2=a_1/2
[/mm]
...
Aus dem einen Parameter lassen sich alle anderen Koeffizienten berechnen. Und: Diese Reihe entspricht tatsächlich der e-Funktion!
Nach dieser Fingerübung solltest du es nun mit dem Ansatz [mm] $y=\sum a_i(x-1)^i$ [/mm] versuchen. Die Schwierigkeit besteht darin, die Grenzen für die Indizes richtig zu wählen, sodaß der Koeffizientenvergleich klappt. Am besten probierst du das selbst erstmal.
Bekommst du diesmal einen freien Parameter? kannst du ihn durch dem Anfangswert angeben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mi 19.12.2007 | | Autor: | xcase |
Hallo....soweit ich das jetzt Verstanden habe beginne ich so:
y = [mm] a_{0}(x-1)^{0} [/mm] + [mm] a_{1}(x-1)^{1} [/mm] + [mm] a_{2}(x-1)^{2} [/mm] + ...
y'= 0 + [mm] a_{1} [/mm] + [mm] 2a_{2}(x-1)^{1} [/mm] + ...
Wenn man das jetzt einsetzten wuerde in die Anfangsgleichung:
[mm] (a_{1} [/mm] - 2)x + [mm] 2a_{2}(x^{2}-x)^{1} [/mm] + ... = [mm] 3a_{0}(x-1)^{0} [/mm] + [mm] 3a_{1}(x-1)^{1} [/mm] + [mm] 3a_{2}(x-1)^{2} [/mm] + ...
Da aber Y(1) = 0 ergeben soll haben wir hier ja unendlich viele Parameter auf der rechten seite. Bin ich wenigstens auf dem richtigen Weg?^^
MfG Tomi
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Hallo!
Du mußt das nun mit Indizes machen:
[mm] $y=\sum_{i=0}^\infty a_i(x-1)^i$
[/mm]
[mm] $y'=\sum_{i=1}^\infty a_i*i(x-1)^{i-1}$
[/mm]
Schwierig wird es jetzt mit xy':
[mm] $xy'=\sum_{i=1}^\infty a_i*ix(x-1)^{i-1}$
[/mm]
ich würde vorschlagen, du machst eine Substitution: z=x-1.
Dann ergibt das:
[mm] $y=\sum_{i=0}^\infty a_iz^i$
[/mm]
[mm] $xy'=\sum_{i=1}^\infty a_i*i(z+1)z^{i-1}=\sum_{i=1}^\infty a_i*iz^{i-1}+\sum_{i=1}^\infty a_i*iz^i=\sum_{i=0}^\infty a_{i+1}*(i+1)z^i+\sum_{i=1}^\infty a_i*iz^i$
[/mm]
Beachte, wie ich die Indizes so verschoben habe, daß da nur noch Terme mit [mm] z^i [/mm] drin stehen, und nicht mehr [mm] z^{i\pm 1} [/mm] oder so.
Setze das nun mal in die DGL ein (und laß das -2 erstmal weg). Schaffst du nun den Koeffizientenvergleich? Dabei solltest du eine Vorschrift herausbekommen, mit der du [mm] a_i [/mm] aus i und dem vorherigen [mm] a_{i-1} [/mm] berechnen kannst.
Wenn du das so weit hast, mußt du dir nochmal gedanken über das -2 machen. Ich würde das recht pragmatisch da rein klemptnern, das heißt, ab i=2 gilt die eben gefundene Vorschrift, die ersten [mm] a_i [/mm] berechnen sich aber anders.
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