Taylorentwicklung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Im Skript steht:
$y''(x) = [mm] \frac{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2} [/mm] + [mm] O(h^2)$
[/mm]
Doch ich denke, dass es [mm] O(h^3) [/mm] sein müsste?! |
Hallihallo,
ich habe das einfach mal nachgerechnet und:
$y(x+h) = y(x) + hy'(x) + [mm] \frac{h^2}{2}y''(x) [/mm] + [mm] O(h^3) [/mm] $
[mm] $\Rightarrow \frac{h^2}{2}y''(x) [/mm] = y(x+h) -y(x) -hy'(x) [mm] +O(h^3)$
[/mm]
$y(x-h) = y(x) - hy'(x) + [mm] \frac{h^2}{2}y''(x) [/mm] + [mm] O(h^3) [/mm] $
[mm] $\Rightarrow \frac{h^2}{2}y''(x) [/mm] = y(x-h) -y(x) + hy'(x) [mm] +O(h^3)$
[/mm]
Addition liefert:
$y''(x) = [mm] \frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h) }{h^2} [/mm] + [mm] O(h^3)$
[/mm]
Liege ich falsch, oder das Skript?
Gruß
Alice
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Fr 07.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Alice!
> Im Skript steht:
>
> [mm]y''(x) = \frac{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2} + O(h^2)[/mm]
>
> Doch ich denke, dass es [mm]O(h^3)[/mm] sein müsste?!
> Hallihallo,
>
> ich habe das einfach mal nachgerechnet und:
>
> [mm]y(x+h) = y(x) + hy'(x) + \frac{h^2}{2}y''(x) + O(h^3)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{h^2}{2}y''(x) = y(x+h) -y(x) -hy'(x) +O(h^3)[/mm]
>
> [mm]y(x-h) = y(x) - hy'(x) + \frac{h^2}{2}y''(x) + O(h^3)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{h^2}{2}y''(x) = y(x-h) -y(x) + hy'(x) +O(h^3)[/mm]
>
>
> Addition liefert:
Erstmal liefert die Addition [mm] $h^2 [/mm] y''(x) = y(x+h) - 2y(x) + y(x-h) + [mm] O(h^3)$. [/mm] Das ist aequivalent zu [mm] $h^2 [/mm] y''(x) - y(x+h) + 2y(x) - y(x-h) [mm] \in O(h^3)$, [/mm] also zu [mm] $\left|\lim_{x\to\infty} \frac{h^2 y''(x) - y(x+h) + 2y(x) - y(x-h)}{h^3}\right| [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
Das ist aber gleich [mm] $\left|\lim_{x\to\infty} \frac{y''(x) - \frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2}}{h}\right| [/mm] < [mm] \infty$, [/mm] also zu $y''(x) - [mm] \frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2} \in [/mm] O(h)$. Also hast du erstmal nur $y''(x) = [mm] \frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2} [/mm] + O(h)$, und nicht etwa
> [mm]y''(x) = \frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h) }{h^2} + O(h^3)[/mm]
Nun zur Frage, wo du das [mm] $O(h^2)$ [/mm] aus der Aufgabe herbekommen kannst. Dazu mach doch einfach mal eine Taylorentwicklung bis zum Grad 3 und nicht nur bis zum Grad 2! Die Terme vorm [mm] $h^3$ [/mm] kuerzen sich (genauso wie die vorm $h$) weg, womit du anstatt des [mm] $O(h^3)$ [/mm] ein [mm] $O(h^4)$ [/mm] bekommst! Wenn du jetzt durch [mm] $h^2$ [/mm] teilst, bleibt also gerade das [mm] $O(h^2)$ [/mm] aus der Aufgabenstellung ueber!
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo Felix,
ich habe das selber nochmal nachgerechnet und nun haut es auch hin.
Vielen Dank,
Alice
|
|
|
|
