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| Aufgabe | Entwickeln Sie die durch f(x) = sin(x)*sinh(x), x [mm] \varepsilon \IR, [/mm] definierte Funktion f in eine
Taylor-Reihe um x0 = 0. Zeigen Sie dazu zunächst f(4)(x) = −4f(x), x [mm] \varepsilon \IR.
[/mm]
Welchen Konvergenzradius hat diese Taylor-Reihe? |
Hi,
ich habe zunächst gezeigt, dass f(4)(x) = −4f(x) gilt.
Meine Ableitungen sind:
[mm] f^{2}(0)=2
[/mm]
[mm] f^{6}(0)=-8
[/mm]
[mm] f^{4n+2}(0)=(-2)^{2n+1}
[/mm]
Stimmt das so? Meine Taylorreihe wäre dann
[mm] T_{n}(x,0) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{(-2)^{k+2}}{(4k+2)!}x^{4k+2}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Mo 08.09.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
habe mich eben mal an deiner Aufgabe versucht und komme auch fast auf deine angegebene Taylorreihe.
Den Zähler musst du dir noch einmal anschauen. Es gilt doch [mm] f''(0_{})=2 [/mm] und [mm] f^{(6)}(0)=-8.
[/mm]
Wenn wir das erste Reihenglied mit deinem Zähler einmal hinschreiben
[mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{(-2)^{k+2}}{(4k+2)!}x^{4k+2}
[/mm]
Für k=0: [mm] \bruch{(-2)^{0+2}}{(4*0+2)!}x^{4*0+2}=\bruch{4}{2!}x^{2} [/mm] Der Wert 4 im Zähler stimmt aber nicht, wenn du die 2. Ableitung ausgewertet an der Stelle 0, betrachtest.
Scheint mir jedoch nur ein Tippfehler zu sein, weil du hier - meines Erachtens richtig - erkennst, dass
> [mm] f^{4n+2}(0)=(-2)^{2n+1}
[/mm]
MfG barsch
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Hi. Ja du hast recht. Allerdings stimmt deine Lösung doch auch nicht ganz.
$ [mm] f^{4n+2}(0)=(-2)^{2n+1} [/mm] $
Hier kommt man für n=0 doch auf -2, es müsste aber +2 sein. Von daher würde ich:
$ [mm] f^{4n+2}(0)=(-1)^{n}2^{2n+1} [/mm] $
angeben.
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> Von daher würde ich:
>
> [mm]f^{4n+2}(0)=(-1)^{n}2^{2n+1}[/mm]
>
> angeben.
Hallo,
ja, das ist richtig.
Gruß v. Angela
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