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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:02 Do 16.06.2005 | | Autor: | Mikke |
Hallo! und zwar soll die Zahl [mm] 1,05^{1.02} [/mm] mit einem Fehler der kleiner ist als [mm] 10^{-4} [/mm] berechnen. als hinweis hab ich eine geeignete taylorentwicklung der funktion f(x,y)= [mm] x^{y} [/mm] zu betrachten.
Wär schön wenn mir wer helfen könnte. könntet mir ja eventuell diese aufgabe vorrechnen denn ich muss noch mehr dieser art rechnen und es wär gut wenn ich mich woran orientieren könnte. danke schon mal und lieber gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Do 16.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> Hallo! und zwar soll die Zahl [mm]1,05^{1.02}[/mm] mit einem Fehler
> der kleiner ist als [mm]10^{-4}[/mm] berechnen. als hinweis hab ich
> eine geeignete taylorentwicklung der funktion f(x,y)= [mm]x^{y}[/mm]
> zu betrachten.
Mach das doch mal! Dabei hat man doch immer eine Restgliedabschätzung. Du musst also solange Taylorpolynome berechnen, bis das Restglied im passenden Intervall durch [mm]10^{-4}[/mm] abgeschätzt werden kann. Wenn du deine Ergebmiss hiereinschreibst, werden sie wohl auch üpberprüft.
SEcki
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Do 16.06.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo,
mich würde das allgemeine Schema interessieren, ich kenne bislang nur die Taylorentwicklung für Funktionen mit einer Veränderlichen f(x) und nicht für f(x,y). Wie geht man dort vor? Muss man das partiell betrachten oder wie funktioniert das?
Gruß
kruder77
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:38 Fr 17.06.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo kruder77,
Das Taylorpolynom n-ten Grades von f bei [mm] (x_{0},y_{0}) [/mm] ist das Polynom:
[mm] T_n \left( {x,y} \right) [/mm] = [mm] \sum\limits_{}^{} {\frac{1}{{k!}}\left( {\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {x - x_0 } \right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {y - y_0 } \right)} \right)^k \cdot f\left( {x_0 ,y_0 } \right)}
[/mm]
Das Taylorpolynom 1-ten Grades würde dann folgendermaßen lauten:
[mm] T_1 \left( {x,y} \right) [/mm] = [mm] f\left( {x_0 ,y_0 } \right) [/mm] + [mm] f_x \left( {x_0 ,y_0 } \right)\left( {x - x_0 } \right) [/mm] + [mm] f_y \left( {x_0 ,y_0 } \right)\left( {y - y_0 } \right)
[/mm]
Das Taylorpolynom 2-ten Grades:
Taylorpolynom 2-ten Grades
Du mußt jetzt nur noch die einzelnen partiellen Ableitungen berechnen und einsetzen!
Ich hoffe das hilft dir ein wenig weiter!
Viele Grüße
Fabian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:11 Fr 17.06.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo Fabian,
super, vielen Dank für Deine Antwort ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
Gruß kruder77
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Fr 17.06.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hi Fabian,
ist dann folgendes richtig?
[mm] T_{3}(x;y)=T_{1}(x;y)+T_{2}(x;y)+\bruch{1}{3!}*[f_{xxx}(x_{0};y_{0})(x-x_{0})^{3}+3*f_{xxy}(x_{0};y_{0})(x-x_{0})^{2}*(y-y_{0})+3*f_{xyy}(x_{0};y_{0})(x-x_{0})*(y-y_{0})^{2}+f_{yyy}(x_{0};y_{0})(y-y_{0})^{3})]
[/mm]
Gruß & Danke
kruder77
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 Fr 17.06.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo kruder77,
Wenn du das [mm] T_{1}(x,y) [/mm] streichst, dann ist es richtig. Das Taylorpolynom 1-ten Grades kommt schon im Taylorpolynom 2-Grades vor!
[mm] T_{2}=T_{1}(x,y)+$ \frac{1}{2}\left( {f_{xx} \left( {x_0 ,y_0 } \right)\left( {x - x_0 } \right)^2 + 2f_{xy} \left( {x_0 ,y_0 } \right)\left( {x - x_0 } \right)\left( {y - y_0 } \right) + f_{yy} \left( {x_0 ,y_0 } \right)\left( {y - y_0 } \right)^2 } \right) [/mm] $
Also:
$ [mm] T_{3}(x;y)=T_{2}(x;y)+\bruch{1}{3!}\cdot{}[f_{xxx}(x_{0};y_{0})(x-x_{0})^{3}+3\cdot{}f_{xxy}(x_{0};y_{0})(x-x_{0})^{2}\cdot{}(y-y_{0})+3\cdot{}f_{xyy}(x_{0};y_{0})(x-x_{0})\cdot{}(y-y_{0})^{2}+f_{yyy}(x_{0};y_{0})(y-y_{0})^{3})] [/mm] $
Viele Grüße
Fabian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 Fr 17.06.2005 | | Autor: | kruder77 |
ja, das klingt logisch...
na zum glück habe ich nochmal nachgefragt 
vielen dank nochmal!!!
gruß kruder77
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