Taylorentwicklung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Mo 10.12.2012 | | Autor: | lisa2802 |
| Aufgabe | man bestimme dioe Taylor-Entwicklung der folgenden funktionen im nullpunkt und gebe die konvergenzbereiche an
a) f(x,y)= [mm] \bruch{1}{1-x-y}
[/mm]
b) f(x,y)= [mm] e^{x+y} [/mm] |
[mm] T\summe_{\vmat{ \alpha }\ge 0}\bruch{(x-a)^{\alpha}}{\alpha!}* D^\alpha\*f(a)
[/mm]
aber ich kapiere diese multiindex nicht...
ich sehe, dass bei a) f(x,y) [mm] \approx (x+y)^{0}+(x+y)^{1}+(x+y)^{2}+(x+y)^{3}+(x+y)^{4}+...+(x+y)^{n}
[/mm]
und bei b) f(x,y) [mm] \approx \bruch{1}{0!}(x+y)^{0}+\bruch{1}{1!}(x+y)^{1}+\bruch{1}{2!}(x+y)^{2}+\bruch{1}{3!}(x+y)^{3}+\bruch{1}{4!}(x+y)^{4}+...+\bruch{1}{n!}(x+y)^{n}
[/mm]
aber wie bringe ich das in die "gewünschte form" ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Mo 10.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. du kannst wirklich die Ablewitungen ausrechnen oder die Klammern ausmultiplizieren.
sieh dir vielleicht den 2d Fall in wiki unter Taylorreihe an, dann verstehst du die multiindices besser, die da ausgeschrieben sind.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mo 10.12.2012 | | Autor: | lisa2802 |
Ja die f(x,y) von oben sind die Taylorpolynom n.ten Grades, aber taylorreihen sind unendliche Reihen daher muss man die Polynome ja viel weiter bilden als nur bis grad n, Bei Wiki steht das u.a auch unter mehrdimensional taylorreihe aber ich weiß nicht wie ich daraus auf das Ergebnis bekomme :(
Bei Wiki steht :
"Zum Beispiel ist die Taylorreihe einer Funktion, die von den beiden Variablen x und y abhängt, in der Umgebung von (a, b):
f(x,y) [mm] \approx f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+ \{1}{2!}[(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+(x-a)f_{xx}(a,b)y(-b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b)+..."
[/mm]
Das habe ich angewendet auf die beiden Funktionen von oben daraus folgt wie ich oben schon geschrieben habe : ( bei mir ist ja (a,b)=(0,0) )
a) f(x,y) [mm] \approx (x+y)^{0}+(x+y)^{1}+(x+y)^{2}+(x+y)^{3}+(x+y)^{4}+...+(x+y)^{n} [/mm] +...
b) f(x,y) [mm] \approx \bruch{1}{0!}(x+y)^{0}+\bruch{1}{1!}(x+y)^{1}+\bruch{1}{2!}(x+y)^{2}+\bruch{1}{3!}(x+y)^{3}+\bruch{1}{4!}(x+y)^{4}+...+\bruch{1}{n!}(x+y)^{n} [/mm] +...
Aber wir komme ich davon auf die "reihenschreibweise" :
[mm] T\summe_{\vmat{ \alpha }\ge 0}\bruch{(x-a)^{\alpha}}{\alpha!}\cdot{} D^\alpha*f(a) [/mm]
???
Aber da ich das mit diesen multiindex schon nicht verstehe und auch die Vorlesung an dem Tag nicht besuchen konnte, komm ich hier leider nicht weiter :/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Mo 10.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
in der wiki formel steht doch nirgends z.B [mm] (x+y)^2
[/mm]
sondern [mm] 1/2!*(f_{xx}(0,0)*x^2+f_{yy}*y^2+2*f_{xy}*xy)
[/mm]
wenn du [mm] (x+y)^2 [/mm] ausrechnest was du wohl nicht durch differenzieren, sondern aus der geometirischen reihe hast
dann steht da [mm] x^2+y^2+2xy
[/mm]
daraus kannst du die [mm] f_{xx}(0,0) [/mm] sehen!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mo 10.12.2012 | | Autor: | lisa2802 |
Ich glaub ich habe mich nicht deutlich ausgedrückt und deswegen redender aneinander vorbei  Ich habe ja "meine" [mm] f_{x} [/mm] und so bereits eingesetzt und aufgelöst und dann kommen meine obigen Sachen raus
Bei a)
f (0,0) = [mm] \bruch{1}{(1-x-y)}= [/mm] 1=0!
[mm] f_{x}= \bruch{1}{(1-x-y)^{2}}
[/mm]
[mm] f_{x}(0,0) [/mm] = 1= 1!
[mm] f_{xx}= \bruch{2}{(1-x-y)^{3}}
[/mm]
[mm] f_{xx}(0,0) [/mm] = 2=2!
[mm] f_{xxx}= \bruch{6}{(1-x-y)^{4}}
[/mm]
[mm] f_{xxx}(0,0) [/mm] = 6=3!
.
.
.
[mm] f_{xxxxxxxx}= \bruch{40320}{(1-x-y)^{9}}
[/mm]
[mm] f_{xxxxxxxx}(0,0) [/mm] =40320 =8!
...
Und das eingesetzte in f(x,y) [mm] \approx f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+ \{1}{2!}[(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+(x-a)f_{xx}(a,b)y(-b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b)+..." [/mm] Ergibt
F(x,y) [mm] \approx (x+y)^{0}+(x+y)^{1}+(x+y)^{2}+(x+y)^{3}+(x+y)^{4}+...+(x+y)^{n} [/mm]
Und das müsste ein soweit richtig sein, mir fehlt halt der Schritt zur Reihe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Di 11.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Reihe ist richtig, die kriegst du ohne alles Differenzieren als geometrische Reihe mit q=x+y
die TR schreibt man i.A. eben mi [mm] x,x^2,x^3 [/mm] und [mm] y,y^2.. [/mm] und xy,x^2y [mm] xy^2 [/mm] usw.
aber es hindert dich niemand, sie so zusammenzufassen, wie du es getan hast.
dasselbe gilt für [mm] e^{x+y} [/mm] wo du x+y in die Reihe für [mm] e^x [/mm] einsetzen kannst.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Aber wir stellt man jetzt das als Reihe dar? Ich möchte es wenn auch richtig machen  da steht ja wenn ich [mm] (x+y)^{2}+...+(x+y)^{n} [/mm] Ausmultilpliziere die einzelnen Terme wie [mm] x^{2}+2xy+y^{2}+...+(x+y)^{n} [/mm]
Aber wie bekomme ich das in die Form :
T= [mm] \summe_{\vmat{ \alpha }\ge 0}\bruch{(x-a)^{\alpha}}{\alpha!}\cdot{} D^\alpha\cdot{}f(a) [/mm]
[mm] D^{\alpha} [/mm] ist die [mm] \alpha [/mm] -te Ableitung)
[mm] (x-a)^{\alpha} [/mm] = [mm] x^{\alpha}
[/mm]
[mm] D^{\alpha}*f(a) [/mm] = n! ? Oder da wir als Indizes [mm] \alpha [/mm] haben dann [mm] \alpha!
[/mm]
Das kürzt sich sodass da nur noch
[mm] T\summe_{\vmat{ \alpha }\ge 0}{(x)^{\alpha}}\ [/mm]
Ist das korrekt? Und x ist eigentlichtlich mein (x+y) ?
Dann wäre
[mm] T\summe_{\vmat{ \alpha }\ge 0}(x+y)^{\alpha}\ [/mm] = [mm] T\summe_{n=o}^{\infty}{(x+y)^{n}}\
[/mm]
Und für f(x,y) [mm] =e^{x+y}
[/mm]
[mm] T\summe_{\vmat{ \alpha }\ge 0}\bruch{(x+y)^{\alpha}}{\alpha!}\ [/mm] = [mm] T\summe_{n=o}^{\infty}{\bruch{(x+y)^{n}}{n!}}\[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 13.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
