Taylorentwicklung arcsin < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Do 20.03.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
zur ![[]](/images/popup.gif) Lösungsskizze, Aufgabe G6
habe einige Fragen:
Auf dem Blatt 2 der Lösungsskizze zu der Übung G6 steht:
1)"Wegen arcsin(0)=0 erhalten wir aus Satz VI.3.2(der Satz besagt, dass man bei gleichmäßiger Konvergenz Integration und Limesbildung vertauschen darf".
Warum steht dort wegen arcsin(0)=0? Offensichtlich ist das eine Bedingung. Warum muss sie erfüllt sein, damit arcsin(x)= die Reihe?
2)Man muss hier auch die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge [mm] f_{n}(entspricht [/mm] hier der Folge der Partialsummen) nachweisen.
Muss man hier direkt die Definition der gleichmäßigen Konvergenz benutzen? Oder gibt es dazu einen einfacheren Hilfssatz?
3)Bei der Aufgabe sollte man die Taylorreihe der Funktion arcsin mit Entwicklungspunkt 0 bestimmen.
In der Zeile steht : [mm] arcsin(x)=\summe_{n=0}^{\infty}....
[/mm]
Wie kann man nachweisen, dass diese Reihe genau die gesuchte Taylorreihe und genau mit dem Enwicklungspunkt 0 ist ?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Do 20.03.2008 | | Autor: | SEcki |
> 1)"Wegen arcsin(0)=0 erhalten wir aus Satz VI.3.2(der Satz
> besagt, dass man bei gleichmäßiger Konvergenz Integration
> und Limesbildung vertauschen darf".
> Warum steht dort wegen arcsin(0)=0? Offensichtlich ist das
> eine Bedingung. Warum muss sie erfüllt sein, damit
> arcsin(x)= die Reihe?
Damit das konstante Glied 0 ist, denn das ist ja gleich [m]\arcsin(0)=0[/m].
> 2)Man muss hier auch die gleichmäßige Konvergenz der
> Funktionenfolge [mm]f_{n}(entspricht[/mm] hier der Folge der
> Partialsummen) nachweisen.
> Muss man hier direkt die Definition der gleichmäßigen
> Konvergenz benutzen? Oder gibt es dazu einen einfacheren
> Hilfssatz?
Auf was willst du denn hier heraus? Die Taylorreihe bestimmt sich doch aus den Ableitungen der Funktion, also auch den Ableitungen der ersten Ableitung, die man als Potenzreihe da stehen hat.
> 3)Bei der Aufgabe sollte man die Taylorreihe der Funktion
> arcsin mit Entwicklungspunkt 0 bestimmen.
> In der Zeile steht : [mm]arcsin(x)=\summe_{n=0}^{\infty}....[/mm]
> Wie kann man nachweisen, dass diese Reihe genau die
> gesuchte Taylorreihe und genau mit dem Enwicklungspunkt 0
> ist ?
Der Funktionswert und alle Ableitungen stimmen in dem Punkt überein - das wurde gmacht, in dem man erst eimal ableitet, in Potenzreihe entwickelt und dann nochmal integriert.
SEcki
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