Taylorentwicklung sin,cos < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | | Zeige, dass ( [mm] \bruch{sin(x)}{x} )^{3}=cos(x) [/mm] gilt, falls x<<1. Benutzen sie für sin und cos die Taylorentwicklung |
Hallo,
hier mal mein Ansatz:
[mm] (\bruch{x-\bruch{x^{3}}{3!}+\bruch{x^{5}}{5!}}{x})^{3} [/mm] = [mm] (\bruch{x^{4}-20*x^{2}+120}{120})^{3} [/mm] = [mm] \bruch{(x^{4}-20*x^{2}+120)^{3}}{1728000}
[/mm]
Die Frage ist jetzt noch, wie ich zeigen kann, dass dies gleich cos(x) (Taylorentwicklung davon) ist, falls x<<1.
Ich könnte beides voneinander abziehen, und zeigen, dass ein x existiert, für dass der Unterschied zwischen beiden beliebig klein wird ?
DANKE
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tobus!
> hier mal mein Ansatz: [mm](\bruch{x-\bruch{x^{3}}{3!}+\bruch{x^{5}}{5!}}{x})^{3}[/mm]
Kürze nun und vergleiche mit der Taylorreihe vom [mm] $\cos(x)$ [/mm] . Wahrscheinlich reichen in der o.g. Darstellung bereits zwei Taylorglieder, bevor Du "hoch 3" nimmst.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
