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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo.
Hab eine kleine Schwierigkeit mit der Taylorformel für mehrere Veränderliche.
Bei dem Beispiel geht es darum, sin(x) *cos(y) in einem Taylorpolynom mit Ordnung 3 für die Anschlussstelle [mm] \vec x_0 [/mm] = (0,0) zu entwickeln.
Nun lautet die Taylorformel, so wie ich sie gelernt habe:
[mm] f(\vec x_0+h) [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] + 1/1! * (x * [mm] \partial/ \partial\ [/mm] x + y * [mm] \partial/ \partial\ [/mm] y) [mm] f(\vec x_0) [/mm] + 1/2! * (x * [mm] \partial/ \partial\ [/mm] x + y * [mm] \partial/ \partial\ y)^2 f(\vec x_0) [/mm] + ... + 1/k! * (x * [mm] \partial/ \partial\ [/mm] x + y * [mm] \partial/ \partial\ y)^k f(\vec x_0)
[/mm]
Nun erhalte ich damit, wenn ich die Klammern formal ausmultipliziere und gemischte Ableitungen entsprechend zusammenfasse das Ergebnis:
[mm] f(\vec x_0 [/mm] + h) = x - [mm] xy^2/2 [/mm] - [mm] x^3/3!
[/mm]
multipliziere ich jedoch einfach die beiden Taylorentwicklungen von sin(x) und cos(y) für 3. Ordnung aus, so erhalte ich zusätzlich noch den Term:
...+ [mm] 3x^3y^2/(2!*3!) [/mm]
Hat vielleicht irgendwer eine Ahnung wo mein Fehler liegt??
Bei meiner Formel würde dieser Term bei Ordnung 5 auch hinzu kommen. Ist das normal oder ist die Formel falsch?
Vielen Dank!
mfg.
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Hallo skydiver,
ich hab nachgerechnet und komme auch auf dein erstes Ergebnis, also
[mm]T_2(f(0,0))(x,y) = x - \bruch{x^3}{3!} - \bruch{xy^2}{2!} [/mm]
Ich hab die Taylorformel etwas anders gelernt, aber da das gleiche rauskommt, ist dieses Ergebnis wohl richtig!
Wenn das Taylorpolynom vom Grad 3 ist, kann allerdings kein Term der Form
[mm]\bruch{3x^3y^2}{2!*3!} [/mm]
auftauchen! Das kann nur im Tp. Grad 5 sein (3+2=5)! (hab ich nicht nachgerechnet) Der zweite Rechenweg, den du versucht hast, kann also nicht richtig sein.
mfg
Daniel
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