Taylorformel für R^n -> R < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei f [mm] \in C^2 [/mm] und [mm] x,x_o \in \IR^n. [/mm] Weiters sei z: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR^n; [/mm] z(x) := [mm] x_0 [/mm] + [mm] \bruch{\alpha}{\norm{x - x_0}} [/mm] * (x - [mm] x_0); \alpha \in \IR [/mm] und [mm] f(z(\alpha)) [/mm] = [mm] f(x_0 [/mm] + [mm] \bruch{\alpha}{\norm{x - x_0}} [/mm] (x - [mm] x_0))
[/mm]
Zu zeigen ist folgender Übergang:
[mm] \phi''(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{d}{d\alpha}\phi'(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\norm{x - x_0}} [/mm] (x- [mm] x_0)^T \bruch{d}{d\alpha} (Df(z(\alpha)))^T [/mm] =
ZU FINDEN
= [mm] \bruch{(x- x_0)^T}{\norm{x - x_0}} D^2f(z(\alpha)) [/mm] * [mm] z'(\alpha)
[/mm]
wobei [mm] z'(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{(x- x_0)}{\norm{x - x_0}} [/mm] |
Hallo!
Ich hab hier leichte Probleme den zwischenschritt richtig zu machen...
ich hatte den Ansatz dass ich die Komponenten partiell ableite:
[mm] \bruch{d}{d\alpha} \pmat{ \bruch{\partial f}{\partial x_1} (z(\alpha)) \\ ... \\ \bruch{\partial f}{\partial x_n} (z(\alpha)) }
[/mm]
wobei ich dann eine funktion [mm] g_i [/mm] definiere mit [mm] g_i [/mm] := [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_i}
[/mm]
also
[mm] \bruch{d}{d\alpha} \pmat{ g_1(z(\alpha)) \\ ... \\ g_n(z(\alpha)) }
[/mm]
Zu zeigen ist
[mm] \bruch{1}{\norm{x - x_0}} [/mm] (x- [mm] x_0)^T \bruch{d}{d\alpha} (Df(z(\alpha)))^T [/mm] = [mm] \bruch{(x- x_0)^T}{\norm{x - x_0}} D^2f(z(\alpha)) [/mm] * [mm] z'(\alpha)
[/mm]
man kann aber schon auf beiden Seiten etwas kürzen
[mm] \bruch{d}{d\alpha} (Df(z(\alpha)))^T [/mm] = [mm] D^2f(z(\alpha)) [/mm] * [mm] z'(\alpha)
[/mm]
aber hier komme ich nicht weiter - ich weiß nicht wie ich von
[mm] \bruch{d}{d\alpha} (Df(z(\alpha)))^T
[/mm]
ausgehen soll
bitte um hilfe.
lg
babapapa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 31.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Do 19.11.2009 | | Autor: | babapapa |
Hallo!
Ich bin noch immer interessiert an einer Lösung :)
Also folgendes hab ich verstanden:
[mm] z(\alpha) [/mm] = [mm] x_0 [/mm] + [mm] \bruch{\alpha}{\parallel x - x_0 \parallel} [/mm] *(x - [mm] x_0)
[/mm]
[mm] \phi(\alpha) [/mm] = [mm] f(z(\alpha))
[/mm]
nun bin ich interessiert an der ersten ableitung von [mm] \phi(\alpha) [/mm] also [mm] \phi'(\alpha)
[/mm]
Das sieht also nach Kettenregel für implizite Funktionen aus.
also
[mm] \phi'(\alpha) [/mm] = [mm] <\nabla f(z(\alpha)) [/mm] , [mm] z'(\alpha)>
[/mm]
für [mm] z'(\alpha) [/mm] gilt
[mm] z'(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{dz(\alpha)}{d\alpha} [/mm] = [mm] \bruch{d}{d\alpha} (\bruch{\alpha}{\parallel x - x_0 \parallel} [/mm] *(x - [mm] x_0) [/mm] + [mm] x_0) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\parallel x - x_0 \parallel} [/mm] *(x - [mm] x_0)
[/mm]
nun kommt meine Frage:
nach was leite ich [mm] f(z(\alpha)) [/mm] ab??? also [mm] \nabla f(z(\alpha))
[/mm]
ich stehe hier etwas auf der Leitung...
Ich glaube mit der Info könnte ich das Beispiel fertig bekommen.
Danke !
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Fr 20.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo!
>
> Ich bin noch immer interessiert an einer Lösung :)
>
> Also folgendes hab ich verstanden:
>
> [mm]z(\alpha)[/mm] = [mm]x_0[/mm] + [mm]\bruch{\alpha}{\parallel x - x_0 \parallel}[/mm]
> *(x - [mm]x_0)[/mm]
> [mm]\phi(\alpha)[/mm] = [mm]f(z(\alpha))[/mm]
>
> nun bin ich interessiert an der ersten ableitung von
> [mm]\phi(\alpha)[/mm] also [mm]\phi'(\alpha)[/mm]
>
> Das sieht also nach Kettenregel für implizite Funktionen
> aus.
>
> also
>
> [mm]\phi'(\alpha)[/mm] = [mm]<\nabla f(z(\alpha))[/mm] , [mm]z'(\alpha)>[/mm]
>
> für [mm]z'(\alpha)[/mm] gilt
> [mm]z'(\alpha)[/mm] = [mm]\bruch{dz(\alpha)}{d\alpha}[/mm] =
> [mm]\bruch{d}{d\alpha} (\bruch{\alpha}{\parallel x - x_0 \parallel}[/mm]
> *(x - [mm]x_0)[/mm] + [mm]x_0)[/mm] = [mm]\bruch{1}{\parallel x - x_0 \parallel}[/mm]
> *(x - [mm]x_0)[/mm]
>
>
> nun kommt meine Frage:
> nach was leite ich [mm]f(z(\alpha))[/mm] ab??? also [mm]\nabla f(z(\alpha))[/mm]
Nach seinem Argument:
[mm] \nabla f = \vektor{f_{x_1}\\\vdots\\f_{x_n}} [/mm]
also
[mm] \nabla f(z(\alpha)) \vektor{f_{x_1}(z(\alpha))\\\vdots\\f_{x_n}(z(\alpha))} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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