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| Aufgabe | Gegeben ist f durch f(x)= 1/x-2; x ungleich 2
a) Bestimmen sie mit Hilfe des Taylorpolynoms 3. Grades T3 (x) eine Näherungsfunktion für f(x) in der Umgebung von x0= 1.
b) Kontrolle mit dem GTR. |
Ich war krank als das Thema dran war und habe es seit dem nicht richtig hingekriegt in diesem Thema zurecht zu kommen. Ich weiß nur das es dort so Formeln gibt, die ich aber nicht kenne. Alleine bringen die natürlich auch nichts. Montag schreben wir die letzte Matheklausur in meinem Leben und morgen werden wir die Aufgabe noch mal im Unterricht machen. Ich wollte gerne vorarbeiten, damit ich im Unterricht folgen kann und mich noch mal medlen kann.
Leider weiß ich nicht mal einen Ansatz, da ich nicht mal verstehe wozu das überhauot gut ist.
SOrry aber es wäre toll wenn jemand mir hilft.
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Hallo Julia,
> Gegeben ist f durch f(x)= 1/x-2; x ungleich 2
Da steht [mm] $f(x)=\frac{1}{x}-2$, [/mm] du meinst aber doch [mm] $f(x)=\frac{1}{x-2}$
[/mm]
Benutze also den Formeleditor oder setze Klammern!
>
> a) Bestimmen sie mit Hilfe des Taylorpolynoms 3. Grades T3
> (x) eine Näherungsfunktion für f(x) in der Umgebung von x0=
> 1.
Zu berechnen ist [mm] $T_3(x)=\sum\limits_{k=0}^{3}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot{}(x-x_0)^k$
[/mm]
Bei dir ist [mm] $x_0=1$
[/mm]
Also [mm] $T_3(x)=\sum\limits_{k=0}^{3}\frac{f^{(k)}(1)}{k!}\cdot{}(x-1)^k$
[/mm]
Du brauchst also die ersten 3 Ableitungen von $f(x)$, die wertest du an der Stelle [mm] $x_0=1$ [/mm] aus und bastelst alles nach der Formel zusammen
>
> b) Kontrolle mit dem GTR.
Die erhaltene Summe fasse mal möglichst zusammen und tippe sie als Funktion in den TR ein, dann siehst du,wie gut oder schlecht sich ihr Graph demjenigen von f(x) anschmiegt, wie gut also die Approximation von f durch das zugeh. TP 3. Grades ist
> Ich war krank als das Thema dran war und habe es seit dem
> nicht richtig hingekriegt in diesem Thema zurecht zu
> kommen. Ich weiß nur das es dort so Formeln gibt, die ich
> aber nicht kenne.
Dafür gibt's wikipedia oder (Schul-)Bücher!
> Alleine bringen die natürlich auch
> nichts. Montag schreben wir die letzte Matheklausur in
> meinem Leben und morgen werden wir die Aufgabe noch mal im
> Unterricht machen. Ich wollte gerne vorarbeiten, damit ich
> im Unterricht folgen kann und mich noch mal medlen kann.
> Leider weiß ich nicht mal einen Ansatz, da ich nicht mal
> verstehe wozu das überhauot gut ist.
Zur Approximierung von (komplizierten) Funktionen durch Polynome
> SOrry aber es wäre toll wenn jemand mir hilft.
Geh's mal an!
LG
schachuzipus
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ja das problem ist das ich das bei wikipedia und so nicht verstehe. diese klammer: [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] soll das ein integral sein?
außerdem verstehe ich nicht recht, wie man von f(x) drei ableitungen bilden soll. die erste ableitung wäre ja schon nur noch 1 als ergebnis.
trotzdem aber schon mal danke (-:
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Hey!
> siehe anfang
> ja das problem ist das ich das bei wikipedia und so nicht
> verstehe. diese klammer: [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] soll das ein
> integral sein?
Nein, das ist ein Summenzeichen.
Statt 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 kann man auch schreiben:
[mm] $\sum_{ \red{i} = \green{1} }^{ \blue{10} } [/mm] i$
(die blaue 10 soll auf dem Summenzeichen stehen, das klappt irgendwie nicht)
Nun läuft der Laufindex [mm] \red{i}, [/mm] der unterhalb des Summenzeichen steht alle Zahlen von [mm] \green{1} [/mm] bis [mm] \blue{10} [/mm] durch.
Du hast ja nun [mm] \sum\limits_{k=0}^{3}\frac{f^{(k)}(1)}{k!}\cdot{}(x-1)^k [/mm] zu berechnen. Also musst du k von 0 bis drei laufen lassen und die einzelnen Terme aufsummieren.
> außerdem verstehe ich nicht recht, wie man von f(x) drei
> ableitungen bilden soll. die erste ableitung wäre ja schon
> nur noch 1 als ergebnis.
Nein!
[mm] f(x)=\frac{1}{x-2}=(x-2)^{-1}
[/mm]
Wie lauten dann die Ableitungen mit der Potenzregel?
>
> trotzdem aber schon mal danke (-:
Gruß Patrick
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n wäre doch hier gleich null. un dann wäre die ableitung 0=0. oder wenn nix über dem x steht ist das dann eine 1?
ist das mit dem aufsummieren usw. ein gültiges mathezeichen? habe davon noch nie gehört oder das gesehen.
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ah okay verstehe. nur um zu sehen ob ich auf dem richtigen weg bin hier mal meine erste lösung:
f´(x): (x-2)^-2
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Do 05.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Da fehlt noch ein Minuszeichen vor der Klammer.
Gruß
Loddar
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oaky stimmt. dann wäre das ergebnis doch so: (-x+2)^-2.
jetzt richtig?
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> siehe ang´fang
> oaky stimmt. dann wäre das ergebnis doch so: (-x+2)^-2.
> jetzt richtig?
Nein!
Auf Grund der Potenz kannst du das Minuszeichen nicht in die Klammer reinziehen. Richtig ist:
[mm] f'(x)=-(x-2)^{-2}=-\frac{1}{(x-2)^2}
[/mm]
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danke.
2. ableitung:
f´(x)= -2*(-2-1)*(x-2)^-2-2
= -2*(-3)*(x-2)^-4
= -2*(-3x+6+6-3x)^-4
= -2*(-6x+12)^-4
ist das in ordnung so?
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Hallo Julia,
> siehe anfang
> danke.
> 2. ableitung:
> [mm] f\red{''}(x)= [/mm] -2*(-2-1)*(x-2)^-2-2 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") es ist mir schleierhaft, was du hier machst!?
Und du setzt immer noch keine Klammern - wenn du ernsthaft auf Hilfe hier hoffst, schreibe sauberer auf
Vielleicht verlierst du auch ein paar Worte dazu, was du genau machst, zB. welche Regel du anwendest ...
Wie funktioniert denn die Potenzregel für das Ableiten?
[mm] $g(x)=ax^n\Rightarrow g'(x)=nax^{n-1}$
[/mm]
Der Exponent wird also um 1 erniedrigt ...
> = -2*(-3)*(x-2)^-4
> = -2*(-3x+6+6-3x)^-4
> = -2*(-6x+12)^-4
>
> ist das in ordnung so?
Nein, komplett falsch!!
Gruß
schachuzipus
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Also die Klammern setze ich nicht, da ich wie gesagt überhaupt nicht weiß was die bedeuten. So wie ich das aufgeschrieben habe, habe ich das auch in meinem Heft. Mit solchen Klammern arbeiten wir auch im Unterricht nicht, deswegen glaube ich auch nicht das wir die so brauchen. Doe Regel zur 2 Ableitung lautet doch:
y"= n*(n-1)*x^(n-2)
Diese habe ich auf die 1. Ableitung angewandt. Also n= -2
Oder muss man die auf die Grundform anwenden? Das steht so in der Formelsammlung, von daher denke ich mal das das schón so stimmt.
Wenn das hier überhaupt nicht nachvollziehbar ist, wird es ja wahrscheinlich so sein das diese Formel für f(x) gilt.
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Hallo nochmal,
> siehe anfang
> Also die Klammern setze ich nicht, da ich wie gesagt
> überhaupt nicht weiß was die bedeuten.
Wenn du [mm] $x^{n-2}$ [/mm] schreibst mit dem Formeleditor, weiß jeder dass $n-2$ im Exponenten steht
Wenn du (x-2)^-2-2 schreibst, so bedeutet das [mm] $(x-2)^{-2}\red{-2}$, [/mm] und es steht die [mm] \red{-2} [/mm] nach den allgemeinen Rechnenregel Punkt- vor Strich-... usw. als Summand hinter dem [mm] $(x-2)^{-2}$
[/mm]
Wenn du also partout den Formeleditor nicht benutzen willst, schreibe die Exponenten in Klammern, damit man weiß, dass sie zusammengehören!
> So wie ich das
> aufgeschrieben habe, habe ich das auch in meinem Heft. Mit
> solchen Klammern arbeiten wir auch im Unterricht nicht,
> deswegen glaube ich auch nicht das wir die so brauchen. Doe
> Regel zur 2 Ableitung lautet doch:
> y"= n*(n-1)*x^(n-2)
Aha, hier weiß man, dass n-2 im Exponenten steht
Ja, für [mm] $y=y(x)=x^n$
[/mm]
>
> Diese habe ich auf die 1. Ableitung angewandt. Also n= -2
>
> Oder muss man die auf die Grundform anwenden?
Natürlich!
> Das steht so
> in der Formelsammlung, von daher denke ich mal das das
> schón so stimmt.
> Wenn das hier überhaupt nicht nachvollziehbar ist, wird es
> ja wahrscheinlich so sein das diese Formel für f(x) gilt.
Ja.
Hier leite ohne blöde Formel einfach mal [mm] $f'(x)=-(x-2)^{-2}$ [/mm] mit der Potenzregel ab.
Was du dir zur Kontrolle merken solltest ist, dass sich bei gebrochen rationalen Funktionen die Potenz im Nenner mit jeder Ableitung um 1 erhöht (wenn du richtig ableitest und kürzt)
LG
schachuzipus
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Potenzregel![[]](/images/popup.gif){kind=small}
hier