Taylorkoeffiziente < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:59 Di 17.01.2006 | | Autor: | aktava |
Hallo, Ich muss beweisen die Eindeutigkeit der Zerlegung einer Funktion in ein Polynom n-ten Grades und einen Rest höherer Ordnung.
Es gelte f( [mm] x_{0}+h)=a_{0}+a_{1}h+a_{2}h^{2}+...+a_{n}h^{n}+O(h^{n})=b_{0}+b_{1}h+b_{2}h^{2}+...+b_{n}h^{n}+O(h^{n}) [/mm] für h [mm] \to0
[/mm]
Dann gilt [mm] b_{j}=a_{j} [/mm] für alle j=0, ....,n
Muss man beweisen durch Widerspruch.
Hat jemand Idee?
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Mi 18.01.2006 | | Autor: | masha |
Hallo,
die Antwort ist schon bei dir in der Aufgabestellung angegeben :
Widerspruch bekommt man, wenn angenommen wird, dass deine Funktion als [mm] P_n(h)+O_1(h) [/mm] und [mm] Q_n(h)+O_2(x) [/mm] (zwei verschiedene Polinome n-ten Grades + Rest )dargestellst werden kann. Zwei unterschiedliche Polinome bedeutet, dass bei gleichen Exponenten von h ungleiche Koeffiziente stehen, also [mm] a_i [/mm] ≠ [mm] b_i
[/mm]
Danach betrachtet man Differenz :
[mm] P_n(h)+O_1(h)-(Q_n(h)+O_2(x)= [/mm] f(x) - f(x)=0
Dann, wenn du [mm] \limes_{h \to \ 0}f(x) [/mm] dir anschaust, bekommst du eine nach einanderem [mm] a_i [/mm] = [mm] b_i.
[/mm]
Die Koeffiziente des Polinoms bekommt man wegen der Eindeutigkeit des Limises :
[mm] a_0 [/mm] = [mm] \limes_{h \to \ 0}f [/mm] (x)
[mm] a_1 [/mm] = [mm] \limes_{h \to \ 0} \bruch{f(x)-a_0}{h}
[/mm]
...........................................
[mm] a_n [/mm] = [mm] \limes_{h \to \ 0} \bruch{f(x)-(a_0+...+a_{n-1}*h^{n-1})}{h^n}
[/mm]
LG
|
|
|
|
