Taylorkoeffizienten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Di 02.06.2009 | | Autor: | suzan_7 |
| Aufgabe | | Berechne die ersten 3 nicht verschwindenden Taylorkoeffizienten der Potenzreihe von sin(sin(z)) z [mm] \varepsilon \IC [/mm] |
Hallo, ich hoffe ihr könnt mir bei dieser aufgabe weiterhelfen.
Ich habe schon den versucht die ersten auszurechnen und komme auf folgende werte:
a1=1
a2=0
a3=0
a4=0
so nun habe ich schon 4 Ableitungen und nur einen Koeffizienten, die Ableitungen werden so kompliziert, dass ich nichtmal mehr mit gewissheit sagen kann, dass die vierte passt....
so kann es doch nicht weitergehen.
da muss es doch einen trick geben.
ich hoffe ihr könnt mir diesen verraten.
achja die Formel die ich zur berchnung von taylorkoef. benutzt habe;lautet
[mm] a_{n}=\bruch{f^{n}}{n!}
[/mm]
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Ja, diese Ableiterei mit mehrfach geschachtelter
Ketten- und Produktregel ist wirklich mega-mühsam.
Ich könnte mir vorstellen, dass es etwas weniger
schlimm wird, wenn man sich stattdessen
überlegt, was herauskommt, wenn man die
Sinusreihe in die Sinusreihe einsetzt. Es gilt ja:
[mm]sin(z)=z-\bruch{z^3}{3!}+\bruch{z^5}{5!}-\bruch{z^7}{7!}+ ...[/mm]
und demzufolge
$\ [mm] sin(sin(z))=(z-\bruch{z^3}{3!}+\bruch{z^5}{5!}-\bruch{z^7}{7!}+ ...)-\bruch{(z-\bruch{z^3}{3!}+\bruch{z^5}{5!}-\bruch{z^7}{7!}+ ...)^3}{3!}+\bruch{(z-\bruch{z^3}{3!}+\bruch{z^5}{5!}-\bruch{z^7}{7!}+ ...)^5}{5!}-\bruch{(z-\bruch{z^3}{3!}+\bruch{z^5}{5!}-\bruch{z^7}{7!}+ ...)^7}{7!}+...$
[/mm]
Das sieht jetzt zwar auch ziemlich furchterregend
aus (zum Glück war es mit copy-and-paste doch
recht leicht zu schreiben  ). Wenn man sich aber
klar macht, bei welchen Potenzen man schon abbre-
chen darf, hält sich der Aufwand vielleicht doch in
Grenzen. Mit einem CAS sollte es recht gut zu
machen sein.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Di 02.06.2009 | | Autor: | suzan_7 |
Ja das habe ich auch schon so probiert.
aber da hab ich doch bei der zweiten ableitung auch wieder produktregel ab dem zweiten summenglied.
ich fand das auch nicht einfacher, denn es wird auch mega unübersichtlich.
und cad steht leider nciht zur verfügung.
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> Ja das habe ich auch schon so probiert.
> aber da hab ich doch bei der zweiten ableitung auch wieder
> produktregel ab dem zweiten summenglied.
Das verstehe ich jetzt nicht, denn man braucht
doch bei diesem Weg gar keine Ableitungen mehr,
sondern nur noch gewöhnliche Algebra, also
Ausmultiplizieren, binomische Formeln und so.
> ich fand das auch nicht einfacher, denn es wird auch mega
> unübersichtlich.
Es ist auch nicht einfach - aber einen noch anderen
Weg sehe ich nicht.
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Di 02.06.2009 | | Autor: | suzan_7 |
ach jetzt hab ich das ganze als frage gestellt. weißt du zufällig wie ich das ändern kann, oder zumindestens den status?
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> ach jetzt hab ich das ganze als frage gestellt. weißt du
> zufällig wie ich das ändern kann, oder zumindestens den
> status?
beim Überarbeiten eines eigenen Artikels kann man
eine Frage in eine Mitteilung verwandeln
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Di 02.06.2009 | | Autor: | isi1 |
Mich würde noch interessieren, Suzan,
ob Du das gleiche Ergebnis hast wie ich?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo!
$f(x) = [mm] \sin(\sin(x))$
[/mm]
$f(0) = 0$
Entsprechend
$f'(x) = [mm] \cos(\sin(x))*\cos(x)$
[/mm]
$f'(0) = 1$
$f''(x) = [mm] -\sin(\sin(x))*\cos^{2}(x) [/mm] - [mm] \cos(\sin(x))*\sin(x)$
[/mm]
$f''(x) = 0$
$f'''(x) = [mm] -\cos(\sin(x))*\cos^{3}(x) [/mm] + [mm] 2*\sin(\sin(x))*\cos(x)*\sin(x) [/mm] - [mm] \Big(-\sin(\sin(x))*\cos(x)*\sin(x) [/mm] + [mm] \cos(\sin(x))*\cos(x)\Big)$
[/mm]
$f'''(0) = -2$
Man erhält dann weiter
[mm] $f^{(4)}(0) [/mm] = 0$
[mm] $f^{(5)}(0) [/mm] = 12$
[mm] $f^{(6)}(0) [/mm] = 0$
[mm] $f^{(7)}(0) [/mm] = -128$
Also die Taylor-Reihe:
[mm] $\sin(\sin(x)) \approx z-\bruch{2}{3!}*z^{3} [/mm] + [mm] \bruch{12}{5!}*z^{5} [/mm] - [mm] \bruch{128}{7!}*z^{7} [/mm] = [mm] z-\bruch{1}{3}*z^{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{10}*z^{5} [/mm] - [mm] \bruch{8}{315}*z^{7}$
[/mm]
Viele Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Di 02.06.2009 | | Autor: | isi1 |
Bei mir wird Al-Chwarizmis Formel nicht richtig abgebildet; ich versuche mal sie abzubilden:
...hat nicht funktioniert, deshalb als Bild
[Dateianhang nicht öffentlich]
Stimmt das?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Bei mir wird Al-Chwarizmis Formel nicht richtig abgebildet;
> ich versuche mal sie abzubilden:
>
> ...hat nicht funktioniert, deshalb als Bild
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Stimmt das?
Danke für die Formel als Bild - zuerst wurde sie auch
richtig dargestellt.
Von Hand berechnet habe ich die Reihe ebenfalls bis zum
Glied mit [mm]x^7[/mm]. Bis zum Glied mit [mm] x^5 [/mm] stimmen unsere
Ergebnisse überein. Bei [mm] x^7 [/mm] hatte ich den Faktor
$\ [mm] \bruch{-29}{2520}$ [/mm] ,
aber ohne Gewähr ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 Di 02.06.2009 | | Autor: | isi1 |
Und wie entferne ich nun diesen Doppeleintrag?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo webmaster,
bei diesem Artikel habe ich wieder das Problem, das
schon mehrfach aufgetreten ist: Formeln, die zuerst
in der Vorschau und nach dem ersten Absenden
korrekt dargestellt wurden, erscheinen später
plötzlich wieder rot mit Fehlermeldungen, obwohl die
mm- oder $-Zeichen eigentlich richtig gesetzt waren
und an den Formeln im Eingabetext gar nichts ver-
ändert wurde.
Da ist wohl irgendein lästiger bug am werkeln ...
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Di 02.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo isi
es scheint unser server spinnt im Moment, also auch Entschuldigung fuer meine Mahnung im Balkenthread.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Di 02.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> es scheint unser server spinnt im Moment, also auch
> Entschuldigung fuer meine Mahnung im Balkenthread.
der Server war OK, der Formelserver (unter meiner Obhut) allerdings nicht. Es funktioniert jetzt wieder (zumindst bei neuen Formeln), und ich versuch herauszubekommen woran es liegt/lag.
LG Felix
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