Taylorpolynom < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, ich habe Probleme bei Aufgaben mit denen das Taylorpolynom bestimmt werden soll! Und zwar:
a) Soll das Taylorpolynom dritten Grades von [mm] f:\IR \to \IR:x\mapsto x*e^{2x} [/mm] um den Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0
[/mm]
herauskommen muss angeblich [mm] x+2x^{2}+2x^{3} [/mm] aber wie komme ich da drauf?
b) Soll das Taylorpolynom zweiten Grades von [mm] f:\IR \to \IR:x\mapsto sin(x^{2}) [/mm] um den Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=\wurzel{\pi}
[/mm]
herauskommen soll hier [mm] -2\wurzel{\pi}(x-\wurzel{\pi})-(x-\wurzel{\pi})^{2}
[/mm]
bitte um Hilfe, wie ich auf diese Ergebnisse komme??
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mo 12.05.2008 | | Autor: | JanJan |
Denk mal über folgendes nach:
Wie lauten die ersten 4 Ableitungen deiner Funktionen?
Wie genau sehen die ersten 4 Terme des Taylorpolynoms generell aus?
Wenn du beide Fragen löst, löst du deine beiden Aufgaben ;)
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1. Existiert die Taylorreihe, ist sie identisch mit der Potenzreihe.
das kann man nuten, indem man e^(2*x) als Potenzreihe aufschreibt
und mit x multipliziert. Ergibt:
x*e^(2*x) = x*[1+(2*x) + [mm] (*x)^2/2 [/mm] + ...] = x + [mm] 2*x+2*x^3 [/mm] + ...
2. Im zweiten fall geht es nicht so elegant. Man berechne
die Ableitungen von f(x) = [mm] sin(x^2) [/mm] in [mm] x_0 [/mm] = sqrt(pi).
Es ist [mm] f(x_0) [/mm] = 0 und [mm] f'(x_0) [/mm] = -1 * 2 sqrt(pi) [mm] *(x-x_0),
[/mm]
was schon den ersten term liefert. Der zweite ergibt sich analog.
Schlunzbuns1 grüßt
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