Taylorpolynom < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Sa 05.06.2010 | | Autor: | peter_k |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Taylorpolynome vom Grad 0,1,2,3 der Funktion
f: [mm] \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}: [/mm] (x,y) [mm] \mapsto exp(-x^2-y^2)
[/mm]
im Punkt (0,0). |
Hallo,
also das ist ja eigentlich nur Formel anwenden einstzen etc. Ich habe das mal gemacht, aber ich glaube ich mache was falsch....ich schreib mal ganz genau auf, was ich bisher gemacht habe:
Taylorpolynom der Ordnung 0:
[mm] \sum\limits_{|\alpha| \le 0}\bruch{D^0 f(0,0)}{0!}((x,y)-(0,0))^\alpha=\sum\limits_{|\alpha| \le 0}\bruch{exp(0-0)}{1}=1
[/mm]
Ergibt auch graphisch Sinn, ich denke das wird erstmal richtig sein, oder?
Dann TP erster Ordnung:
[mm] \sum\limits_{|\alpha| \le 1}\bruch{D^\alpha f(0,0)}{\alpha!}((x,y)-(0,0))^\alpha=1+ \bruch{D^1f(0,0)}{1}(x,y)^1=1+0 [/mm] (da die erste Ableitung [mm] -2xexp(-x^2-y^2), [/mm] bzw. [mm] -2yexp(-x^2-y^2 [/mm] ja für f(0,0) gleich 0 ist.).
Dann wäre ja das zweite Taylorpolynom wieder gleich 1. Wo ist hier der Haken?
Vielen Dank schonmal für Hinweise!!
GRUß
Peter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo [mm] peter_k,
[/mm]
> Bestimmen Sie die Taylorpolynome vom Grad 0,1,2,3 der
> Funktion
>
> f: [mm]\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}:[/mm] (x,y) [mm]\mapsto exp(-x^2-y^2)[/mm]
>
> im Punkt (0,0).
> Hallo,
>
> also das ist ja eigentlich nur Formel anwenden einstzen
> etc. Ich habe das mal gemacht, aber ich glaube ich mache
> was falsch....ich schreib mal ganz genau auf, was ich
> bisher gemacht habe:
>
> Taylorpolynom der Ordnung 0:
>
> [mm]\sum\limits_{|\alpha| \le 0}\bruch{D^0 f(0,0)}{0!}((x,y)-(0,0))^\alpha=\sum\limits_{|\alpha| \le 0}\bruch{exp(0-0)}{1}=1[/mm]
>
> Ergibt auch graphisch Sinn, ich denke das wird erstmal
> richtig sein, oder?
Ja.
>
> Dann TP erster Ordnung:
>
> [mm]\sum\limits_{|\alpha| \le 1}\bruch{D^\alpha f(0,0)}{\alpha!}((x,y)-(0,0))^\alpha=1+ \bruch{D^1f(0,0)}{1}(x,y)^1=1+0[/mm]
> (da die erste Ableitung [mm]-2xexp(-x^2-y^2),[/mm] bzw.
> [mm]-2yexp(-x^2-y^2[/mm] ja für f(0,0) gleich 0 ist.).
>
> Dann wäre ja das zweite Taylorpolynom wieder gleich 1. Wo
> ist hier der Haken?
Kein Haken, da die partiellen Ableitungen im Punkt (0,0) verschwinden.
>
> Vielen Dank schonmal für Hinweise!!
>
> GRUß
> Peter
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Sa 05.06.2010 | | Autor: | peter_k |
Aber dann verstehe ich das nicht....ich dachte je höher der Grad des Taylorpolynoms, desto besser nähert sich der Graph dem Entwicklungspunkt an?
Für das TP zweiter Ordnung hab ich dann :
[mm] T_{(0,0}^{(2)}=1-2(x^2-y^2) [/mm] und der Graph nähert sich auch schon sehr gut an f(0,0) an.
Bilde ich dann
[mm] T_{(0,0)}^{(3)}= \sum\limits_{|\alpha| \le 3}\bruch{D^\alpha f(0,0)}{\alpha!}((x,y)-(0,0))^\alpha=1-2(x^2+y^2)+\bruch{1}{12}(0)
[/mm]
dann das wäre ja wieder das gleiche Taylorpolynom wie davor...wenn das richtig ist, ist ja die Aufgabe irgendwo ein bisschen witzlos.
Gruß
Peter
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Das Phänomen kannst Du auch bei der Taylorentwicklung von $sin(x)$ im Ursprung (eindimensional) beobachten, die Ableitungen geraden Grades sind ja $+/-sin(x)$ also Null in $x=0$. jedes zweite Glied verschwindet also, die Entwicklung wird also nur alle zwei Grade besser, das macht im "Unendlichen" ja aber nichts! Vielleicht war das ja der Sinn der Aufgabe?
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