Taylorpolynom < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:08 Sa 24.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | | Bestimmen sie für die Funktion [mm] f(x)\bruch{e^x}{x} [/mm] das Taylorpolynom 2.Ordnung im entwicklungspunkt [mm] x_0=1 [/mm] und beweisen sie für das Restglied die Abschaetzung |R [mm] f(x,0)|\le15e^\bruch{3}{4}|x-1|^3, x\in[\bruch{1}{2}, \bruch{3}{2}] [/mm] |
Guten morgen,
ich habe die ersten zwei Ableitungen gemacht und wollte fragen, ob bis hierhin alles in ordnung ist.
Mit dem Quotientenkrit. habe ich
[mm] u=e^x [/mm]
[mm] u'=e^x [/mm]
v=x
v'=1
[mm] f'(x)=\bruch{(e^x*x)-(e^x*1)}{x^2}=\bruch{e^x(x-1)}{x^2}
[/mm]
f'(1)=0
für die zweite Ableitung:
[mm] u=e^x(x-1) [/mm]
[mm] u'=(e^x*(x-1))+(e^x*1))=e^x(x+1-1)=e^x*x
[/mm]
[mm] v=x^2 [/mm]
v'=2x
[mm] f'(x)=\bruch{(e^x*x)*x^2)-(e^x(x-1)2x)}{x^4}
[/mm]
İst das so richtig bis hierhin oder kann ich die zweite Ableitung noch vereinfachen?
Danke im voraus
Lg Melisa
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> Bestimmen sie für die Funktion [mm]f(x)\bruch{e^x}{x}[/mm] das
> Taylorpolynom 2.Ordnung im entwicklungspunkt [mm]x_0=1[/mm] und
> beweisen sie für das Restglied die Abschaetzung |R
> [mm]f(x,0)|\le15e^\bruch{3}{4}|x-1|^3, x\in[\bruch{1}{2}, \bruch{3}{2}][/mm]
>
> Guten morgen,
>
>
> ich habe die ersten zwei Ableitungen gemacht und wollte
> fragen, ob bis hierhin alles in ordnung ist.
>
> Mit dem Quotientenkrit. habe ich
>
> [mm]u=e^x[/mm]
> [mm]u'=e^x[/mm]
> v=x
> v'=1
>
> [mm]f'(x)=\bruch{(e^x*x)-(e^x*1)}{x^2}=\bruch{e^x(x-1)}{x^2}[/mm]
>
> f'(1)=0
>
> für die zweite Ableitung:
>
> [mm]u=e^x(x-1)[/mm]
> [mm]u'=(e^x*(x-1))+(e^x*1))=e^x(x+1-1)=e^x*x[/mm]
>
> [mm]v=x^2[/mm]
> v'=2x
>
>
> [mm]f''(x)=\bruch{(e^x*x)*x^2)-(e^x(x-1)2x)}{x^4}[/mm]
Hallo,
ja, das ist richtig.
Vereinfachen: klar könnte man noch [mm] e^x [/mm] ausklammern, aber Du interessierst Du ja lediglich für f''(1), kannst also getrost sofort einsetzen.
Gruß v. Angela
>
>
> İst das so richtig bis hierhin oder kann ich die zweite
> Ableitung noch vereinfachen?
>
>
> Danke im voraus
>
> Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:49 Sa 24.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
für [mm] f''(1)=e^1
[/mm]
[mm] T_{2}(x)=\summe_{k=0}^{2}\bruch{f^{k}*(x_{0}}{k!}(x-x_{0})^x=e^1+0(x-1)+\bruch{e^1}{2!}(x-1)^2=e^1+\bruch{e^1}{2!}(x-1)^2
[/mm]
İst das so richtig?
Um den zweiten Teil der Aufgabe zu lösen muss ich doch die dritte Ableitung bestimmen und gucken ob das was da steht wirklich rauskommt oder?
Lg Melisa
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Hallo Melisa,
> Hallo,
>
>
> für [mm]f''(1)=e^1[/mm]
>
>
> [mm]T_{2}(x)=\summe_{k=0}^{2}\bruch{f^{k}*(x_{0}}{k!}(x-x_{0})^x=e^1+0(x-1)+\bruch{e^1}{2!}(x-1)^2=e^1+\bruch{e^1}{2!}(x-1)^2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> İst das so richtig?
Ja, gut so!
>
> Um den zweiten Teil der Aufgabe zu lösen muss ich doch die
> dritte Ableitung bestimmen und gucken ob das was da steht
> wirklich rauskommt oder?
Ja, für das Restglied benötigst du die 3.Ableitung...
>
>
>
> Lg Melisa
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Sa 24.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
bei der dritten Ableitung bin ich mir gerade etwas unsicher bzw. bin ich mir nicht sicher ob ich richtig ausgeklammert habe:
[mm] u=((e^x*x)x^2)-(e^x(x-1)*2x)=e^x(x^3-2x^2+2x)
[/mm]
dann waere [mm] u'=(e^x(x^3-2x^2+2x))+(e^x(3x^2-4x+2))=(e^x(x^3+x^2-2x+2))
[/mm]
ist das so richtig?
Lg Melisa
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Hallo nochmal,
> bei der dritten Ableitung bin ich mir gerade etwas unsicher
> bzw. bin ich mir nicht sicher ob ich richtig ausgeklammert
> habe:
>
> [mm]u=((e^x*x)x^2)-(e^x(x-1)*2x)=e^x(x^3-2x^2+2x)[/mm]
Das ist der Zähler von $f''$ ?!
Immer sagen, wo du gerade bist ... 
Und im Nenner [mm] $x^4$ [/mm] ...
Da kannst du aus der Klammer oben noch ein x ausklammern und wegkürzen!
Das gibt: [mm] $f''(x)=\frac{e^x\cdot{}\left(x^2-2x+2\right)}{x^3}$
[/mm]
>
> dann waere
> [mm]u'=(e^x(x^3-2x^2+2x))+(e^x(3x^2-4x+2))=(e^x(x^3+x^2-2x+2))[/mm]
>
>
> ist das so richtig?
Ja, das stimmt, ich empfehle aber immer möglichst zu vereinfachen.
Bei gebrochen rationalen Funktionen erhöht sich die Potenz im Nenner bei jeder Ableitung um 1, wenn man entsprechend vereinfacht ...
>
>
> Lg Melisa
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Sa 24.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
Für die dritte Ableitung habe ich jetzt:
[mm] f'''(x)=\bruch{(e^x*x^2*x^3)-(e^x(x^2-2x+2)3x^2)}{x^5^}
[/mm]
[mm] =\bruch{e^x(x^4-3x^3+6x^2-6x)}{x^4^}
[/mm]
[mm] f'''(1)=e^1*(-2)
[/mm]
[mm] |R_{2}(x)|=|f(x)-T_{2}(x)|=|\bruch{f^(3)*\varepsilon}{3!}(x-x_0)^3|=|\bruch{e^{\varepsilon}(\varepsilon^4-3*\varepsilon^3+6\varepsilon^2-6\varepsilon}{\varepsilon^4*4!}*(x-1)^3|
[/mm]
stimmt das soweit?
Danke im voraus!
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Sa 24.07.2010 | | Autor: | Calli |
> Für die dritte Ableitung habe ich jetzt:
>
> [mm]f'''(x)=\bruch{(e^x*x^2*x^3)-(e^x(x^2-2x+2)3x^2)}{x^5^}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
>...
> stimmt das soweit?
>
> Danke im voraus!
>
> Lg Melisa
Hey Melisa, bereits die dritte Ableitung ist falsch !
Ciao Calli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Mo 26.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich schreib mal die einzelnen Schritte die ich gemacht habe auf und ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand sagen kann, wo mein Fehler ist.
Für die zweite Ableitung hatte ich ja:
[mm] f''(x)=\frac{e^x\cdot{}\left(x^2-2x+2\right)}{x^3}
[/mm]
D.h.:
[mm] u=e^x(x^2-2x-2x+) [/mm]
[mm] u'=(e^x(x^2-2x+2))+(e^x(2x-2))
[/mm]
[mm] v=x^3 [/mm]
[mm] v'=3x^2
[/mm]
D.h.:
[mm] f'''(x)=\bruch{(e^x\cdot{}x^2\cdot{}x^3)-(e^x(x^2-2x+2)3x^2)}{x^5^}
[/mm]
und mit ausklammern:
$ [mm] =\bruch{e^x(x^4-3x^3+6x^2-6x)}{x^4^} [/mm] $
Ich kann man mein Fehler irgendwie nicht finden.
Danke im voraus
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Mo 26.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich schreib mal die einzelnen Schritte die ich gemacht habe
> auf und ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand sagen kann,
> wo mein Fehler ist.
>
> Für die zweite Ableitung hatte ich ja:
>
> [mm]f''(x)=\frac{e^x\cdot{}\left(x^2-2x+2\right)}{x^3}[/mm]
>
> D.h.:
>
> [mm]u=e^x(x^2-2x-2x+)[/mm]
>
> [mm]u'=(e^x(x^2-2x+2))+(e^x(2x-2))[/mm]
>
> [mm]v=x^3[/mm]
>
> [mm]v'=3x^2[/mm]
>
> D.h.:
>
> [mm]f'''(x)=\bruch{(e^x\cdot{}x^2\cdot{}x^3)-(e^x(x^2-2x+2)3x^2)}{x^5^}[/mm]
Hier sollte im Nenner [mm] x^6 [/mm] stehen
FRED
>
> und mit ausklammern:
>
> [mm]=\bruch{e^x(x^4-3x^3+6x^2-6x)}{x^4^}[/mm]
>
> Ich kann man mein Fehler irgendwie nicht finden.
>
>
> Danke im voraus
>
> Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Mo 26.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
erstmal danke für die schnelle Antwort!
ich habe jetzt nach dem ausklammern von [mm] e^x [/mm] und [mm] x^2:
[/mm]
[mm] \bruch{e^x(x^3-3x^2+6x-6)}{x^4}
[/mm]
und somit für den Restglied:
$ [mm] |R_{2}(x)|=|f(x)-T_{2}(x)|=|\bruch{f^(3)\cdot{}\varepsilon}{3!}(x-x_0)^3|=|\bruch{e^{\varepsilon}(\varepsilon^3-3\cdot{}\varepsilon^2+6\varepsilon-6}{\varepsilon^4\cdot{}3!}\cdot{}(x-1)^3| [/mm] $
weiter komme ich irgendwie nicht. Was muss ich denn jetzt machen?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Mo 26.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
für die Abschätzung musst du das Max von [mm] f^{(3)}(\epsilon) [/mm] im betrachteten Intervall einsetzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Mo 26.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo nochmal,
das klappt irgendwie immer noch nicht so ganz bei mir.
Mit [mm] x_{0}=1 [/mm] und [mm] \bruch{1}{2}
Das benutze ich für die Ableitung:
[mm] |R_2(x)|=|\bruch{e^{\varepsilon}(\varepsilon^3-3\cdot{}\varepsilon^2+6\varepsilon-6}{\varepsilon^4\cdot{}3!}\cdot{}(x-1)^3|\le |\bruch{e^{\bruch{1}{2}}((\bruch{1}{2})^3-3*(\bruch{1}{2})^2+6*\bruch{1}{2}-6)}{6*\bruch{1}{2}^4}(x-1)^3|=|\bruch{e^{(\bruch{1}{2})}(-\bruch{29}{8})}{\bruch{3}{8}}(x-1)^3|\le|\bruch{e^{(\bruch{1}{2})}(-\bruch{29}{8})}{\bruch{3}{8}}(\bruch{3}{2}-1)^3|
[/mm]
[mm] =|\bruch{e^{(\bruch{1}{2})}(-\bruch{29}{8})}{\bruch{3}{8}}*\bruch{1}{8}|
[/mm]
und hier kommt auf keinen Fall das raus, was nach Aufgabenstelle hätte rauskommen sollen. Wo ist den mein Fehler?
Danke im voraus.
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Mo 26.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> das klappt irgendwie immer noch nicht so ganz bei mir.
>
> Mit [mm]x_{0}=1[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}
> [mm]\bruch{1}{2}<\varepsilon<\bruch{3}{2}[/mm]
>
> Das benutze ich für die Ableitung:
>
> [mm]|R_2(x)|=|\bruch{e^{\varepsilon}(\varepsilon^3-3\cdot{}\varepsilon^2+6\varepsilon-6}{\varepsilon^4\cdot{}3!}\cdot{}(x-1)^3|\le |\bruch{e^{\bruch{1}{2}}((\bruch{1}{2})^3-3*(\bruch{1}{2})^2+6*\bruch{1}{2}-6)}{6*\bruch{1}{2}^4}(x-1)^3|=|\bruch{e^{(\bruch{1}{2})}(-\bruch{29}{8})}{\bruch{3}{8}}(x-1)^3|\le|\bruch{e^{(\bruch{1}{2})}(-\bruch{29}{8})}{\bruch{3}{8}}(\bruch{3}{2}-1)^3|[/mm]
>
> [mm]=|\bruch{e^{(\bruch{1}{2})}(-\bruch{29}{8})}{\bruch{3}{8}}*\bruch{1}{8}|[/mm]
>
>
> und hier kommt auf keinen Fall das raus, was nach
> Aufgabenstelle hätte rauskommen sollen. Wo ist den mein
> Fehler?
Du tust so, als hätte die Funktion $t [mm] \to [/mm] |f'''(t)|$ im Intervall [1/2, 3/2] an der Stelle 1/2 ihr Maximum. Das ist aber nicht der Fall
FRED
>
> Danke im voraus.
>
> Lg Melisa
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:25 Mo 26.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
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> Du tust so, als hätte die Funktion [mm]t \to |f'''(t)|[/mm] im
> Intervall [1/2, 3/2] an der Stelle 1/2 ihr Maximum. Das ist
> aber nicht der Fall
>
Bei der Aufgabenstellung steht [mm] 15e^\bruch{3}{2} [/mm] demzufolge müsste doch 3/2 das Maximum sein oder nicht?
Aber hier krieg ich dann
[mm] -2/81e^\bruch{3}{2}*(x-1)^3 [/mm] raus. Also wieder etwas falsches. Muss ich das Maximum von f^(3)erst berechnen?
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> Du tust so, als hätte die Funktion [mm]t \to |f'''(t)|[/mm] im
> Intervall [1/2, 3/2] an der Stelle 1/2 ihr Maximum. Das ist
> aber nicht der Fall
Hallo,
meinen Rechnungen (naja: meinem Plot) nach stimmt das doch.
Gruß v. Angela
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> Hallo nochmal,
>
> das klappt irgendwie immer noch nicht so ganz bei mir.
>
> Mit [mm]x_{0}=1[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}
> [mm]\bruch{1}{2}<\varepsilon<\bruch{3}{2}[/mm]
>
> Das benutze ich für die Ableitung:
>
> [mm][mm] |R_2(x)|=|\bruch{e^{\varepsilon}(\varepsilon^3-3\cdot{}\varepsilon^2+6\varepsilon-6}{\varepsilon^4\cdot{}3!}\cdot{}(x-1)^3|\le |\bruch{e^{\bruch{1}{2}}((\bruch{1}{2})^3-3*(\bruch{1}{2})^2+6*\bruch{1}{2}-6)}{6*\bruch{1}{2}^4}(x-1)^3|=|\bruch{e^{(\bruch{1}{2})}(-\bruch{29}{8})}{\bruch{3}{8}}(x-1)^3|
[/mm]
Hallo,
[mm] ...=\bruch{e^{(\bruch{1}{2})}(\bruch{29}{8})}{\bruch{3}{8}}|x-1|^3\le \bruch{e^{(\bruch{1}{2})}(\bruch{30}{8})}{\bruch{3}{8}}|x-1|^3, [/mm] und nun überleg Dir,
daß das kleiner als die in der Aufgaenstellung gegebene Grenze ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Mo 26.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo angela,
muss das nicht -29/8 und dem entsprechend -30/8 heißen?
Lg Melisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Mo 26.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo angela,
>
>
> muss das nicht -29/8 und dem entsprechend -30/8 heißen?
Du sollst doch den Betrag der 3. Ableitung abschätzen !
FRED
>
>
>
> Lg Melisa
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Mo 26.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
Ich steh gerade total auf dem Schlauch. Was ist den mit:
Hallo,
[mm]...=\bruch{e^{(\bruch{1}{2})}(\bruch{29}{8})}{\bruch{3}{8}}|x-1|^3\le \bruch{e^{(\bruch{1}{2})}(\bruch{30}{8})}{\bruch{3}{8}}|x-1|^3,[/mm] und nun überleg Dir,
daß das kleiner als die in der Aufgaenstellung gegebene Grenze ist.
gemeint?
ich kann ja jetzt nicht einfach [mm] =\bruch{e^{(\bruch{1}{2})}(\bruch{29}{8})}{\bruch{3}{8}}|x-1|^3\le \bruch{e^{(\bruch{1}{2})}(\bruch{30}{8})}{\bruch{3}{8}}|x-1|^3\le 15e^{1/2} |x-1|^3\le15e^{3/2} |x-1|^3 [/mm] schreiben (Was wahrscheinlich auch nicht gemeint war).
Sry für die wahrscheinlich banalen Fragen.
Lg Melisa
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Hallo melisa1,
> Ich steh gerade total auf dem Schlauch. Was ist den mit:
>
> Hallo,
>
> [mm]...=\bruch{e^{(\bruch{1}{2})}(\bruch{29}{8})}{\bruch{3}{8}}|x-1|^3\le \bruch{e^{(\bruch{1}{2})}(\bruch{30}{8})}{\bruch{3}{8}}|x-1|^3,[/mm]
> und nun überleg Dir,
>
> daß das kleiner als die in der Aufgaenstellung gegebene
> Grenze ist.
>
> gemeint?
>
> ich kann ja jetzt nicht einfach
> [mm]=\bruch{e^{(\bruch{1}{2})}(\bruch{29}{8})}{\bruch{3}{8}}|x-1|^3\le \bruch{e^{(\bruch{1}{2})}(\bruch{30}{8})}{\bruch{3}{8}}|x-1|^3\le 15e^{1/2} |x-1|^3\le15e^{3/2} |x-1|^3[/mm]
> schreiben (Was wahrscheinlich auch nicht gemeint war).
>
Genau das war gemeint.
>
> Sry für die wahrscheinlich banalen Fragen.
>
> Lg Melisa
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:14 Mo 26.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
achsoo ok danke =)
und auch danke nochmal für alle die geholfen habe!
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