Taylorpolynom 2. Ordnung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Di 22.05.2012 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | Sei f : [mm] \IR² \to \IR, f(x_1,x_2) [/mm] := [mm] e^{x_1x_2}
[/mm]
Berechnen Sie das Taylorpolynom 2. Ordnung um [mm] x_0 [/mm] :=(0,1) für f |
Wir haben ausm Tutorium folgende Formel zur Aufstellung bekommen:
[mm] f(x_0) [/mm] + <grad [mm] f(x_0),\gamma>+ \bruch{1}{2}+ ||\gamma||^{2}_2r_2(\gamma)
[/mm]
Nun weiß ich leider schon nicht so wirklich weiter. Bestimme ich nun [mm] gradf(x_0) [/mm] indem ich jeweils nach den Variablen ableite und bastel mir daraus meine Hesse-Matrix damit ich dann das Polynom berechnen kann?
Und:Was genau bedeutet "2.Ordnung" das habe ich bis jetzt nicht rausgefunden.
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Hallo Gnocchi,
> Sei f : [mm]\IR² \to \IR, f(x_1,x_2)[/mm] := [mm]e^{x_1x_2}[/mm]
> Berechnen Sie das Taylorpolynom 2. Ordnung um [mm]x_0[/mm] :=(0,1)
> für f
> Wir haben ausm Tutorium folgende Formel zur Aufstellung
> bekommen:
>
> [mm]f(x_0)[/mm] + <grad [mm]f(x_0),\gamma>+ \bruch{1}{2}+ ||\gamma||^{2}_2r_2(\gamma)[/mm]
>
> Nun weiß ich leider schon nicht so wirklich weiter.
> Bestimme ich nun [mm]gradf(x_0)[/mm] indem ich jeweils nach den
> Variablen ableite und bastel mir daraus meine Hesse-Matrix
> damit ich dann das Polynom berechnen kann?
Ja.
> Und:Was genau bedeutet "2.Ordnung" das habe ich bis jetzt
> nicht rausgefunden.
Die Summe der Potenzen von [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm]
darf höchstens 2 betragen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Di 22.05.2012 | | Autor: | Gnocchi |
Gut. Also wenn nichts schief gegangen ist, müsste da nun rauskommen:
grad [mm] f(x)=(x_2*e^{x_1x_2},x_1*e^{x_1x_2})
[/mm]
Für [mm] Hess_f(x) [/mm] müsste sich dann ergeben:
[mm] \pmat{ e^{x_1x_2}*x_2² & e^{x_1x_2}*x_1x_2+e^{x_1x_2} \\ e^{x_1x_2}*x_1x_2+e^{x_1x_2} & e^{x_1x_2}*x_1² }
[/mm]
Dürfte passen, da die Matrix symmetrisch zur Diagonalen ist.
Das setz ich nun in die Formel ein und rechne dann aus oder reicht es schon das einzusetzen? [mm] \gamma [/mm] müsste ich in dem Fall nicht bestimmen, oder? Sondern einfach als [mm] \vektor{\gamma_1 \\ \gamma_2}schreiben?!
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:18 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Gnocchi |
Also ich hätte als Ergebnis, dass das Taylorpolynom ist:
[mm] e^{0*1}+<(x_2*e^{x_1x_2},x_1*e^{x_1x_2}),\gamma>+\bruch{1}{2} <\pmat{ e^{x_1x_2}*x_2² & e^{x_1x_2}*x_1x_2+e^{x_1x_2} \\ e^{x_1x_2}*x_1x_2+e^{x_1x_2} & e^{x_1x_2}*x_1² }\gamma,\gamma> +||\gamma||_2^{2}r_2(\gamma)
[/mm]
Muss das jetzt noch weiter ausgerechnet werden oder reicht dies als Ergebnis?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Mi 23.05.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Also ich hätte als Ergebnis, dass das Taylorpolynom ist:
>
> [mm]e^{0*1}+<(x_2*e^{x_1x_2},x_1*e^{x_1x_2}),\gamma>+\bruch{1}{2} <\pmat{ e^{x_1x_2}*x_2² & e^{x_1x_2}*x_1x_2+e^{x_1x_2} \\ e^{x_1x_2}*x_1x_2+e^{x_1x_2} & e^{x_1x_2}*x_1² }\gamma,\gamma> +||\gamma||_2^{2}r_2(\gamma)[/mm]
>
> Muss das jetzt noch weiter ausgerechnet werden oder reicht
> dies als Ergebnis?
Ja noch weiter rechnen bis zu einem Polynom [mm] $p(x_1,x_2)$ [/mm] 2. Grades.
[mm] $||\gamma||_2^{2}r_2(\gamma)$ [/mm] soll wohl das Restglied sein.
>
Gruß
meili
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