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| Aufgabe | Berechnen Sie das Taylorpolynom dritten Grades der Funktion
[mm] f:\,[-1\,,\,1]\to\mathbb{R}\,,\qquad f(x)\,=\,\sqrt{1+x}
[/mm]
um [mm] a=0\,. [/mm] |
Hallo.
Mein Lösungsansatz:
Zunächst habe ich [mm] f(x)=\wurzel{1+x} [/mm] 3 mal abgeleitet.
[mm] f(x)=\wurzel{1+x}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{1+x}}
[/mm]
Quotientenregel anwenden:
[mm] f''(x)=\bruch{(2\wurzel{1+x})‘}{(2\wurzel{1+x})^2}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{2*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{1+x}}}{4*(1+x)}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{\bruch{1}{\wurzel{1+x}}}{4(1+x)}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{1}{\wurzel{1+x}*(4+4x)}
[/mm]
Quotientenregel/Produktregel anwenden:
[mm] f'''(x)=\bruch{(\wurzel{1+x}(4*4x))'}{(\wurzel{1+x}(4+4x))^2}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{1+x}}*(4+4x)+4*\wurzel{1+x}}{(1+x)(16+36x+16x^2)}
[/mm]
Irgendwie glaube ich einen Fehler bei den Ableitungen gemacht zu haben.
Die sind aber notwendig für das Taylorpolynom.
Ich würde mich freuen, wenn jemand mal drüberschauen könnte.
Danke vielmals im Voraus.
Grüße
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Hallo Masseltof,
> Berechnen Sie das Taylorpolynom dritten Grades der
> Funktion
>
> [mm]f:\,[-1\,,\,1]\to\mathbb{R}\,,\qquad f(x)\,=\,\sqrt{1+x}[/mm]
>
> um [mm]a=0\,.[/mm]
> Hallo.
>
> Mein Lösungsansatz:
>
> Zunächst habe ich [mm]f(x)=\wurzel{1+x}[/mm] 3 mal abgeleitet.
>
> [mm]f(x)=\wurzel{1+x}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{1+x}}[/mm]
>
> Quotientenregel anwenden:
> [mm]f''(x)=\bruch{(2\wurzel{1+x})‘}{(2\wurzel{1+x})^2}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=\bruch{2*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{1+x}}}{4*(1+x)}[/mm]
Da Du hier die Quotientenregel angewendet hast, muß hier stehen:
[mm]f''\left(x\right)=\bruch{\left(1\right)'*2\wurzel{1+x}-1*\left(2\wurzel{1+x}\right)'}{\left(2\wurzel{1+x}\right)^{2}}=\bruch{-1*\left(2\wurzel{1+x}\right)'}{\left(2\wurzel{1+x}\right)^{2}}[/mm]
> [mm]f''(x)=\bruch{\bruch{1}{\wurzel{1+x}}}{4(1+x)}[/mm]
> [mm]f''(x)=\bruch{1}{\wurzel{1+x}*(4+4x)}[/mm]
>
> Quotientenregel/Produktregel anwenden:
>
> [mm]f'''(x)=\bruch{(\wurzel{1+x}(4*4x))'}{(\wurzel{1+x}(4+4x))^2}[/mm]
>
> [mm]f'''(x)=\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{1+x}}*(4+4x)+4*\wurzel{1+x}}{(1+x)(16+36x+16x^2)}[/mm]
>
> Irgendwie glaube ich einen Fehler bei den Ableitungen
> gemacht zu haben.
> Die sind aber notwendig für das Taylorpolynom.
>
> Ich würde mich freuen, wenn jemand mal drüberschauen
> könnte.
>
> Danke vielmals im Voraus.
>
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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Hallo und danke für die zügige Antwort.
Also steht bei f''(x)=$ [mm] \bruch{-\bruch{1}{\wurzel{1+x}}}{4(1+x)} [/mm] $
bzw: $ [mm] f''(x)=\bruch{1}{-\wurzel{1+x}\cdot{}(4+4x)} [/mm] $
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{0-{(-\wurzel{1+x}*(4+4x))'}}{(-\wurzel{1+x}*(4+4x))^2}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{-[(-\wurzel{1+x})‘*(4+4x)-4\wurzel{1+x}]}{(1+x)(4+4x)^2}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{1+x}}*(4+4x)+4\wurzel{1+x}}{(1+x)(4+4x)^2}
[/mm]
Ist das nun so richtig?
Die Terme sind ansich ziemlch lang, was mich etwas irritiert. Habe ich nicht irgendwo einen weiteren Fehler eingeschmuggelt?
Viele Grüße und danke im Voraus.
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Hallo Masseltof,
> Hallo und danke für die zügige Antwort.
>
> Also steht bei f''(x)=[mm] \bruch{-\bruch{1}{\wurzel{1+x}}}{4(1+x)}[/mm]
> bzw: [mm]f''(x)=\bruch{1}{-\wurzel{1+x}\cdot{}(4+4x)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]f'''(x)=\bruch{0-{(-\wurzel{1+x}*(4+4x))'}}{(-\wurzel{1+x}*(4+4x))^2}[/mm]
>
> [mm]f'''(x)=\bruch{-[(-\wurzel{1+x})‘*(4+4x)-4\wurzel{1+x}]}{(1+x)(4+4x)^2}[/mm]
>
> [mm]f'''(x)=\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{1+x}}*(4+4x)+4\wurzel{1+x}}{(1+x)(4+4x)^2}[/mm]
>
>
> Ist das nun so richtig?
> Die Terme sind ansich ziemlch lang, was mich etwas
> irritiert. Habe ich nicht irgendwo einen weiteren Fehler
> eingeschmuggelt?
Nein, da ist kein weiterer Fehler.
Fasse die Terme noch zusammen.
Du hättest nicht so lange Terme bekommen,
wenn Du die Potenzregel angewendet hättest.
> Viele Grüße und danke im Voraus.
Gruss
MathePower
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Hallo.
Das mit der Potenzregel habe ich doch glatt vergessen.
Dann möchte ich das mal nachholen:
[mm] f(x)=\wurzel{1+x}
[/mm]
[mm] f'{x}=\bruch{1}{2}*\wurzel{1+x}^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] f‘‘(x)=-\bruch{1}{4}*\wurzel{1+x}^{-\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] f'''(x)=-\bruch{3}{8}*\wurzel{1+x}^{-\bruch{5}{3}}
[/mm]
Die Entwicklungsstelle ist 0.
$ [mm] T_{3,0}(x)=\bruch{f(0)}{0!}\cdot{}(x-0)^0+\bruch{f‘{0}}{1!}\cdot{}(x-0)^1+\bruch{f''(0)}{2!}\cdot{}(x-0)^2+\bruch{f'''(0)}{3!}\cdot{}(x-0)^3 [/mm] $
[mm] f(x)=\wurzel{1}=1
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}*(1)^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] f''(x)=-\bruch{1}{4}*(1)^{-\bruch{3}{2}}=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{3}{8}*(1)^{-\bruch{5}{2}}=\bruch{3}{8}
[/mm]
[mm] T_{3,0}=1+\bruch{0.5}{1}*x+\bruch{0.25}{2}*x^2+\bruch{0.375}{6}*x^3=
[/mm]
[mm] 1+0.5x+0.125x^2+0.0625*x^3
[/mm]
Ist das so richtig?
Viele Grüße und danke im Voraus.
Ps: Den langen Term werde ich später nochmal umformen. Falls ich nicht weiterkommen sollte, so melde ich mich dann noch einmal hier. Einfach des Spaßes Willens und zur Übung :)
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Hallo M,
> Hallo.
>
> Das mit der Potenzregel habe ich doch glatt vergessen.
> Dann möchte ich das mal nachholen:
>
> [mm]f(x)=\wurzel{1+x}[/mm]
>
> [mm]f'{x}=\bruch{1}{2}*\wurzel{1+x}^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
Nana, du solltest sauberer aufschreiben und dir deine posts VOR dem Absenden nochmal ansehen.
Was soll die Wurzel da noch? Entweder [mm](1+x)^{\frac{1}{2}}[/mm] oder [mm]\sqrt{1+x}[/mm] ...
>
> [mm]f‘‘(x)=-\bruch{1}{4}*\wurzel{1+x}^{-\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> [mm]f'''(x)=-\bruch{3}{8}*\wurzel{1+x}^{-\bruch{5}{3}}[/mm]
Hier sollte [mm]\red{+}\frac{3}{8}(1+x)^{-\frac{5}{\red{2}}}[/mm] stehen !
>
> Die Entwicklungsstelle ist 0.
>
> [mm]T_{3,0}(x)=\bruch{f(0)}{0!}\cdot{}(x-0)^0+\bruch{f‘{0}}{1!}\cdot{}(x-0)^1+\bruch{f''(0)}{2!}\cdot{}(x-0)^2+\bruch{f'''(0)}{3!}\cdot{}(x-0)^3[/mm]
>
> [mm]f(x)=\wurzel{1}=1[/mm]
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{2}*(1)^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]f''(x)=-\bruch{1}{4}*(1)^{-\bruch{3}{2}}=\bruch{1}{4}[/mm]
Was ist mit dem Vorzeichen?
> [mm]f'''(x)=\bruch{3}{8}*(1)^{-\bruch{5}{2}}=\bruch{3}{8}[/mm]
Hier stimmt's nun ?!
Mensch Meier ...
>
> [mm]T_{3,0}=1+\bruch{0.5}{1}*x+\bruch{0.25}{2}*x^2+\bruch{0.375}{6}*x^3=[/mm]
> [mm]1+0.5x+0.125x^2+0.0625*x^3[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Bis auf 1 Vorzeichen ja.
Ich persönlich würde aber lieber Brüche schreiben, aber das ist Geschmackssache ...
>
> Viele Grüße und danke im Voraus.
>
> Ps: Den langen Term werde ich später nochmal umformen.
> Falls ich nicht weiterkommen sollte, so melde ich mich dann
> noch einmal hier. Einfach des Spaßes Willens und zur
> Übung :)
Sehr löblich!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Mo 20.12.2010 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke für die Antwort.
Da war ich wohl zu hastig. Bitte entschuldigt dies. Manchmal verfalle ich einen Zustand, in dem ich so etwas total vergesse.
So noch einmal!
[mm] f(x)=\wurzel{1+x}=(1+x)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}*(1+x)^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] f''(x)=-\bruch{1}{4}*(1+x)^{-\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] f‘‘‘(x)=+\bruch{3}{8}*(1+x)^{-\bruch{5}{2}}
[/mm]
f(0)=1
f'(0)=0.5
[mm] f''(0)=-\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] f'''(0)=\bruch{3}{8}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] T_{3,0}=1+\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{8}x^2+\bruch{1}{16}x^3
[/mm]
So jetzt dürfte es richtig sein.
Entschuldigt bitte nocheinmals die Hast und den dadurch enstandenen Vorpost.
Danke für die Kontrollen und viele Grüße.
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Hallo nochmal,
> Hallo und danke für die Antwort.
>
> Da war ich wohl zu hastig. Bitte entschuldigt dies.
> Manchmal verfalle ich einen Zustand, in dem ich so etwas
> total vergesse.
>
> So noch einmal!
>
> [mm]f(x)=\wurzel{1+x}=(1+x)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{2}*(1+x)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
> [mm]f''(x)=-\bruch{1}{4}*(1+x)^{-\bruch{3}{2}}[/mm]
> [mm]f‘‘‘(x)=+\bruch{3}{8}*(1+x)^{-\bruch{5}{2}}[/mm]
>
> f(0)=1
> f'(0)=0.5
> [mm]f''(0)=-\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]f'''(0)=\bruch{3}{8}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]T_{3,0}=1+\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{8}x^2+\bruch{1}{16}x^3[/mm]
>
> So jetzt dürfte es richtig sein.
Ja, so gefällt das vieeeel besser 
Alles richtig!
>
> Entschuldigt bitte nocheinmals die Hast und den dadurch
> enstandenen Vorpost.
>
> Danke für die Kontrollen und viele Grüße.
Gruß
schachuzipus
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Hallo.
Wie ich bereits sagte, wollte ich den Term gerne nocheinmal kürzen, um auch mit den langen Term auf das Endergebnis zu kommen.
Mein Lösungsweg sieht bisher so aus:
f'''(x)=g(x)
[mm] g(x)=\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{1+x}}*(4+4x)+4\wurzel{1+x}}{(1+x)(4+4x)^2}
[/mm]
Zähler einzeln betrachtet:
Erweitern von [mm] 4\wurzel{1+x} [/mm] mit [mm] \bruch{2\wurzel{1+x}}{2\wurzel{1+x}}=1
[/mm]
[mm] \bruch{4+4x}{2\wurzel{1+x}}+4\wurzel{1+x}*\bruch{2\wurzel{1+x}}{2\wurzel{1+x}}
[/mm]
[mm] \bruch{4+4x}{2\wurzel{1+x}}+\bruch{8(1+x)}{2\wurzel{1+x}}
[/mm]
Das schreibt man wieder zusammen in den Gesambruch:
[mm] \bruch{\bruch{4+4x}{2\wurzel{1+x}}+\bruch{2(4+4x)}{2\wurzel{1+x}}}{(1+x)*(4+4x)^2}
[/mm]
Das ist ja:
[mm] g(x)=\bruch{(4+4x)+2(4+4x)}{2\wurzel{1+x}(1+x)(4+4x)^2}
[/mm]
[mm] g(x)=\bruch{3(4+4x)}{2\wurzel{1+x}(1+x)(4+4x)^2}
[/mm]
[mm] g(x)=\bruch{3}{2*(1+x)^{\bruch{1}{2}}*(1+x)*(4+4x)}
[/mm]
[mm] g(x)=\bruch{3}{2*(1+x)*4*(1+x)*(1+x)^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
[mm] g(x)=\bruch{3}{8(1+x)^{2}*(1+x)^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
[mm] g(x)=\bruch{3}{8}*\bruch{1}{(1+x)^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
[mm] g(x)=\bruch{3}{8}*(1+x)^{-\bruch{3}{2}}
[/mm]
Das Ergebnis stimmt aber nicht mit jenem überein, dass ich durch Anwedung der Potenzregel bekommen habe.
Da ich gerade knapp bei Zeit bin und den Fehler auch nicht finde, würde ich euch bitten drüber zu schauen und mögliche Fehler zu erwähnen/makieren.
Ich würde mich darüber sehr freuen.
Viele Grüße und danke im Voraus.
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Hallo Masseltof!
Es gilt:
[mm]2+\bruch{1}{2} \ = \ \bruch{\red{5}}{2} \ \not= \ \bruch{3}{2}[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Masseltof |
Hallo Roadrunner.
Oh man, was ein blöder Fehler....
Danke für die Korrektur.
Viele Grüße :)
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