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Taylorpolynom bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:08 Mi 13.04.2011
Autor: Loriot95

Aufgabe
Für die Funktion f:(-2,2) [mm] \to \IR [/mm] mit f(x) = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{x}{2}} [/mm] berechnen Sie [mm] T^{4}_{f,0}(x) [/mm] und bestimmen Sie den Wert von [mm] f^{136}(0). [/mm]

Guten Morgen,

habe die Aufgabe gelöst und würde mich freuen, wenn mal jemand drüber schauen würde.

Habe zunächst versucht eine explizite Ableitungsformel zu finden. Dabei kam ich auf [mm] f^{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{2n!}{(2-x)^{n+1}}. [/mm] Danach habe ich das Taylorpolynom bestimmt:
[mm] T^{n}_{f,0}(x) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{2^{k}}. [/mm] Also:
[mm] T^{4}_{f,0}(x) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{4} \bruch{x^{k}}{2^{k}} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{x}{2}+ \bruch{x^{2}}{4} [/mm] + [mm] \bruch{x^{3}}{8} [/mm] + [mm] \bruch{x^{4}}{16} [/mm] und [mm] f^{136}(0) [/mm] = [mm] \bruch{2*136!}{2^{137}}. [/mm]

Hoffe so stimmts.

LG Loriot95

        
Bezug
Taylorpolynom bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:13 Mi 13.04.2011
Autor: fred97


> Für die Funktion f:(-2,2) [mm]\to \IR[/mm] mit f(x) =
> [mm]\bruch{1}{1-\bruch{x}{2}}[/mm] berechnen Sie [mm]T^{4}_{f,0}(x)[/mm] und
> bestimmen Sie den Wert von [mm]f^{136}(0).[/mm]
>  Guten Morgen,
>  
> habe die Aufgabe gelöst und würde mich freuen, wenn mal
> jemand drüber schauen würde.
>
> Habe zunächst versucht eine explizite Ableitungsformel zu
> finden. Dabei kam ich auf [mm]f^{n}(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{2n!}{(2-x)^{n+1}}.[/mm] Danach habe ich das Taylorpolynom
> bestimmt:
> [mm]T^{n}_{f,0}(x)[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{2^{k}}.[/mm]
> Also:
>  [mm]T^{4}_{f,0}(x)[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{4} \bruch{x^{k}}{2^{k}}[/mm] = 1
> + [mm]\bruch{x}{2}+ \bruch{x^{2}}{4}[/mm] + [mm]\bruch{x^{3}}{8}[/mm] +
> [mm]\bruch{x^{4}}{16}[/mm] und [mm]f^{136}(0)[/mm] =
> [mm]\bruch{2*136!}{2^{137}}.[/mm]
>  
> Hoffe so stimmts.

Alles bestens

FRED

>  
> LG Loriot95


Bezug
                
Bezug
Taylorpolynom bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:16 Mi 13.04.2011
Autor: Loriot95

Danke. :)

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Bezug
Taylorpolynom bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 Mi 13.04.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Loriot,

einen Hinweis, der dir ne Menge Arbeit ersparen kann, möchte ich noch loswerden ;-)

Erinnere dich an die geometrische Reihe:

[mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}[/mm] für [mm]|q|<1[/mm]

Hier mit [mm]q=\frac{x}{2}[/mm] also [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^k[/mm] für [mm]\left|\frac{x}{2}\right|<1[/mm], also [mm]|x|<2[/mm]

Also genau dein Ergebnis ohne jede Fummelei mit Ableitungen und Suchen einer allg. Formel für die n-te Ableitung ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Taylorpolynom bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:08 Mi 13.04.2011
Autor: Loriot95

Danke für den Hinweis.

LG Loriot95

Bezug
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