Taylorpolynom mit Restglied < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie das dritte Taylorpolynom [mm] T_{f,3,x_0}(x) [/mm] der Funktion [mm] f:\mathbb{R}->\mathbb{R} [/mm] mit [mm] f(x)=x^3+3x^2+3x+1 [/mm] an der Stelle [mm] x_0=-1. [/mm] Was kann über den Approximationsfehler [mm] |f(x)-T_{f,3,x_0}(x)| [/mm] ausgesagt werden? |
Hallo Leute,
ich habe eine Frage zum Approximationsfehler.
Mein Vorgehen:
[mm] f(x)=x^3+3x^2+3x+1 f(-1)=(-1)^3+3(-1)^2+3(-1)+1=0
[/mm]
[mm] f'(x)=3x^2+6x+3 f'(-1)=3(-1)^2+6(-1)+3=0
[/mm]
$f''(x)=6x+6 f''(-1)=6(-1)+6=0$
$f'''(x)=6 f'''(-1)=6$
[mm] f^{(4)}=0 [/mm]
[mm] T_{f,3,-1}(x)=0+\frac{0}{1!}(x+1)+\frac{0}{2!}(x+1)^2+\frac{6}{3!}(x+1)^3=(x+1)^3
[/mm]
Restglied (Lagrange)
[mm] R_{3,-1}(x)=\frac{0}{4!}(x+1)^4=0 [/mm]
Was kann ich jetzt für eine Auskunft über den Approximationsfehler geben (mein Restglied ist ja null)?
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Di 18.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie das dritte Taylorpolynom [mm]T_{f,3,x_0}(x)[/mm] der
> Funktion [mm]f:\mathbb{R}->\mathbb{R}[/mm] mit [mm]f(x)=x^3+3x^2+3x+1[/mm] an
> der Stelle [mm]x_0=-1.[/mm] Was kann über den Approximationsfehler
> [mm]|f(x)-T_{f,3,x_0}(x)|[/mm] ausgesagt werden?
> Hallo Leute,
> ich habe eine Frage zum Approximationsfehler.
>
> Mein Vorgehen:
>
> [mm]f(x)=x^3+3x^2+3x+1 f(-1)=(-1)^3+3(-1)^2+3(-1)+1=0[/mm]
>
> [mm]f'(x)=3x^2+6x+3 f'(-1)=3(-1)^2+6(-1)+3=0[/mm]
>
> [mm]f''(x)=6x+6 f''(-1)=6(-1)+6=0[/mm]
>
> [mm]f'''(x)=6 f'''(-1)=6[/mm]
>
> [mm]f^{(4)}=0[/mm]
>
> [mm]T_{f,3,-1}(x)=0+\frac{0}{1!}(x+1)+\frac{0}{2!}(x+1)^2+\frac{6}{3!}(x+1)^3=(x+1)^3[/mm]
>
>
> Restglied (Lagrange)
>
> [mm]R_{3,-1}(x)=\frac{0}{4!}(x+1)^4=0[/mm]
>
>
> Was kann ich jetzt für eine Auskunft über den
> Approximationsfehler geben (mein Restglied ist ja null)?
Der Fehler ist =0 !!!
Mach Dir klar: [mm] x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3
[/mm]
FRED
>
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
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| Aufgabe | | Berechnen Sie cos(1) mit einer Genauigkeit von [mm] \frac{1}{10} [/mm] mit Hilfe eines geeigneten Taylorpolynoms. (Das Ergebnis ist zu begründen) |
Hallo,
danke für die Antwort.
Ich habe hier auch noch eine andere Aufgabe, wo es tatsächlich ein Restglied geben wird.
Wie könnte ich hier denn vorgehen?? Woher weiß man das wie vielte Tayplorpolynom man braucht.
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Di 18.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Für n [mm] \in \IN [/mm] ist (bei f(x)=cosx mit Entwicklungsstelle 0)
[mm] |R_{n,0}(1)| \le \bruch{1}{n!}
[/mm]
Bestimme also n so, dass [mm] \bruch{1}{n!} \le \bruch{1}{10}
[/mm]
FRED
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Es müsste also n=4 sein, müsste ich das Taylorpolynom noch aufschreiben oder ist die Aufgabe schon erfüllt, wenn man das richtige n gefunden hat?
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Di 18.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es müsste also n=4 sein, müsste ich das Taylorpolynom
> noch aufschreiben oder ist die Aufgabe schon erfüllt, wenn
> man das richtige n gefunden hat?
nein. Die Aufgabe lautet doch
"Berechnen Sie cos(1) mit einer Genauigkeit von $ [mm] \frac{1}{10} [/mm] $"
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Di 18.02.2014 | | Autor: | mtr-studi |
Ok, vielen Dank!
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