Taylorpolynom und Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Taylorpolynom [mm] $T_n$ [/mm] um den Entwicklungspunkt [mm] $x_0 [/mm] = 0$ von
$f(x) = [mm] \frac{x}{1+x}$
[/mm]
mit Hilfe bereits bekannter Reihendarstellungen (Tipp: geometrische Reihe) . Bestimmen Sie
das Lagrange Restglied [mm] $R_n$ [/mm] und die Taylorreihe. In welchen Intervallen stellt die Taylorreihe die
Funktion $f(x)$ dar (d.h konvergiert die Folge der Lagrange Restglieder Rn gleichm¨aßig gegen
0) ? |
Ich hab einfach dann mal das Taylorpolynom fuer ein paar Gleider aufgestellt und erhalte das:
[mm] $x+x^2+x^3+ [/mm] ... $ = [mm] \summe_{i=1}^{n} x^i [/mm] = [mm] \frac{x^n-1}{x-1}. [/mm] Das Restglied ist dann wohl das:
[mm] \frac{\frac{(n+1)!}{1+\gamma} - \frac{(n+1)\gamma}{(1+\gamma)^{n+1}}}{(n+1)!}*x^{n+1}
[/mm]
Ist dann die Taylorreihe nicht einfach die gemoetrische Reihe bis ins unendliche?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Di 12.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie das Taylorpolynom [mm]T_n[/mm] um den
> Entwicklungspunkt [mm]x_0 = 0[/mm] von
> [mm]f(x) = \frac{x}{1+x}[/mm]
> mit Hilfe bereits bekannter
> Reihendarstellungen (Tipp: geometrische Reihe) . Bestimmen
> Sie
> das Lagrange Restglied [mm]R_n[/mm] und die Taylorreihe. In welchen
> Intervallen stellt die Taylorreihe die
> Funktion [mm]f(x)[/mm] dar (d.h konvergiert die Folge der Lagrange
> Restglieder Rn gleichm¨aßig gegen
> 0) ?
> Ich hab einfach dann mal das Taylorpolynom fuer ein paar
> Gleider aufgestellt und erhalte das:
>
> [mm]x+x^2+x^3+ ...[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} x^i[/mm] = [mm]\frac{x^n-1}{x-1}.[/mm]
> Das Restglied ist dann wohl das:
>
> [mm]\frac{\frac{(n+1)!}{1+\gamma} - \frac{(n+1)\gamma}{(1+\gamma)^{n+1}}}{(n+1)!}*x^{n+1}[/mm]
>
> Ist dann die Taylorreihe nicht einfach die gemoetrische
> Reihe bis ins unendliche?
Hallo,
ganz so einfach ist das nicht.
Es gilt [mm] \bruch{x}{x+1}=1-\bruch{1}{x+1}=1-\bruch{-1}{(-x)-1}.
[/mm]
Der letzte Bruch steht für die Summe der geometrischen Reihe von [mm] (-x)^n
[/mm]
Gruß Abakus
|
|
|
|
