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Taylorpolynom vom grad 1: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 Sa 25.10.2008
Autor: misery

Aufgabe
Sei U= {(x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] :2x +3y < 9} und sei f:u [mm] \to \IR [/mm] ,
f(x,y)=y + [mm] \wurzel{9-2x-3y} [/mm]

Berechnen sie das Taylorpolynom [mm] T_1 [/mm] (x,y) von f um (0,0).

Also im grunde weiss ich wie es geht.
die Taylor.formel lautet  :

[mm] T_{1,0} [/mm] = f(0)+ f'(0)*h

ich habe folgendes raus :

[mm] T_{1,0} [/mm] = 3+ 2/3 x + 4/3 y

ist das richtig so?

        
Bezug
Taylorpolynom vom grad 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 Sa 25.10.2008
Autor: schachuzipus

Hallo misery,

> Sei $U= [mm] \{(x,y) \in \IR^2 :2x +3y < 9\}$ [/mm] und sei $f:U [mm] \to \IR [/mm] , f(x,y)=y + [mm] \wurzel{9-2x-3y}$ [/mm]
>  
> Berechnen sie das Taylorpolynom [mm]T_1[/mm] (x,y) von f um (0,0).
>  
> Also im grunde weiss ich wie es geht.
>  die Taylor.formel lautet  :
>  
> [mm]T_{1,0}[/mm] = f(0)+ f'(0)*h

Soweit mir bekannt, lautet die Formel im 2-dimens.:

[mm] $T_{k,(x_0,y_0)}(x,y)=\sum\limits_{|\beta|\le k}\frac{\partial^{\beta}f(x_0,y_0)}{\beta!}((x,y)-(x_0,y_0))^{\beta}$, [/mm] wobei k die Ordnung des Polynoms ist und [mm] $\beta$ [/mm] ein Multiindex

Hier also [mm] $T_{1,(x_0,y_0)}(x,y)=\sum\limits_{|\beta|\le 1}\frac{\partial^{\beta}f(0,0)}{\beta!}((x,y))^{\beta}$ [/mm]

ausgeschrieben:

[mm] $T_{1,(x_0,y_0)}(x,y)=\underbrace{\frac{\partial^{(0,0)}f(0,0)}{(0,0)!}((x,y))^{(0,0)}}_{\text{Summand für} |\beta|=0}+\underbrace{\frac{\partial^{(1,0)}f(0,0)}{(1,0)!}((x,y))^{(1,0)}+\frac{\partial^{(0,1)}f(0,0)}{(0,1)!}((x,y))^{(0,1)}}_{\text{Summanden für} |\beta|=1}$ [/mm]

>  
> ich habe folgendes raus :
>  
> [mm]T_{1,0}[/mm] = 3+ 2/3 x + 4/3 y
>  
> ist das richtig so?

Hmm, ich komme auf [mm] $T_{k,(0,0)}(x,y)=4-\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}y$ [/mm]

LG

schachuzipus


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