Taylorpolynome der e-Fkt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man beweise:
Die Nullstellen der Taylorpolynome der Exponentialfkt streben gegen [mm]\infty[/mm]. Genauer:
[mm]\forall r>0\:\exists N\in \mathbb N\:\forall n>N\,\forall |z|
[mm]\sum_{k=0}^n\frac{z^k}{k!}\neq 0[/mm] |
Hallo,
bin nun schon eine Weile (ein paar Stunden..) am Knobeln mit obiger Aufgabe. Was gemeint, versteh ich glaub ich. Nämlich, dass man zeigen soll, dass mit wachsendem n auch [mm]r_0:=[/mm]Betrag der Nullstelle wächst und für n gegen unendlich [mm]r_0[/mm] ebenfalls gegen unendlich geht.
Wär dufte, wenn mir da jemand weiterhilft.
Danke im Voraus,
Lorenz
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Halloechen! Du solltest es mit einem indirekten Beweis probieren.
E
twa so: Wenn die Aussage richtig wäre, würde das folgendes
bedeuten: Es gibt ein r>0, so daß für alle N [mm] \in \N [/mm] ein größeres n [mm] \in \N
[/mm]
existiert, wofür ein z im Kreis mit Radius r da ist, so daß [mm] T_n [/mm] (z) = 0.
Das bedeutet aber folgendes:
Es gibt ein r>0 und eine Folge natürlicher Zahlen n(N) sowie
eine Folge z_(n(N)) komplexer Zahlen im Kreis [mm] K_r [/mm] (0) wofür
[mm] T_n(N) [/mm] (z(n(N))) = 0.
Bolzano Weierstrass sagt nun, dass da eine konvergente
Teilfolge drin sein muß, die gegen ein z in [mm] K_r(0) [/mm] konvergiert.
Wir schreiben kurz: z(k) -> z. Da aber [mm] T_n(N(k))(z(k)) [/mm] = 0,
folgt dies auch für alle möglichen Grenzwerte.
Bekannt ist, daß [mm] T_n [/mm] -> [mm] e^x, [/mm] also muß das Restglied
gegen Null streben. Genauer gilt für das Restglied
[mm] |R_n(N(k)) [/mm] (z(k))| <= r^(n(N(k)))/(n(N(k))!).
Der letzte Ausdruck strebt gegen Null, da die "Oberfolge"
der Teilfolge [mm] r^N/N! [/mm] gegen Null strebt. [mm] (e^r [/mm] hat eine
überall konvergente Potenzreihe, also sind die Reihenglieder
Nullfolgen).
Aus obiger Annahme folgt nun:
e^(z(k)) = [mm] T_n(N(k))(z(k)) [/mm] + [mm] R_n(N(k)) [/mm] (z(k))
= 0 + [mm] R_n(N(k)) [/mm] (z(k)) ---> 0.
Stetigkeit der e-Funktion liefert dann [mm] e^z [/mm] = 0.
Das kann aber nicht sein, denn bekanntlich
liefert folgendes Argument für beliebige x:
[mm] e^x [/mm] = [mm] e^z [/mm] * e^(z-x) = 0
so dass dann die ganze e-Funktion Null wäre,
was wegen [mm] e^0 [/mm] = 1 natürlich nicht sein
kann. Widerspruch! Annahme falsch!
Behauptung richtig.
Kommentare: (1) Obiger Beweis ist natürlich nicht
konstruktiv. (2) Plottet man mal alle Talyorpolynome,
sieht man daß die n (komplexen ) Nullstellen, die es
nach dem Hauptsatz der Algebra ja geben muss,
immer weiter nach draussen rutschen. Wir definieren:
R(n) = Betrag der betragsmässig kleinsten Nullstelle.
Folgende Frage die wäre viel interessanter als
der obige Satz:
Kannn man irgenwelche analytischen Abschätzungen
finden etwa R(n) >= f(n)??? Ich finde das schwierig!
Also noch etwas knobeln. Viele nette Grüße
Schlunzbuns
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Hallo Schlunzbuns,
herzlichen Dank für die rasche und ausführliche Antwort!
Gruß,
Lorenz
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