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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Taylorreihe samt Konvergenzradius zum Entwicklungspunkt a=0 der folgenden Funktion.
[mm] f(x):=\bruch{1}{2}(e^{x}+e^{-x}) [/mm] für [mm] x\in\IC [/mm] |
Wir haben eine ähnliche Aufgabe im Unterricht gemacht, ich habe versucht diese auf meine Aufgabe zu beziehen aber ich glaub irgendwas ist falsch, ich weis nur nicht was...
[mm] e^{x}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k!}
[/mm]
[mm] e^{-x}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-x)^{k}}{k!}
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{1}{2}(\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k!}+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}(-1)^{k}x^{k})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}(\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}(1+(-1)^{k})x^{k})
[/mm]
=0, falls k ungerade
=2, falls k gerade
k=2l+1
[mm] =\bruch{1}{2}(\summe_{l=0}^{\infty}2*\bruch{1}{(2l+1)!}*x^{2l+1})
[/mm]
[mm] =\summe_{l=0}^{\infty}2*\bruch{1}{(2l+1)!}*x^{2l+1}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Mo 16.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Taylorreihe samt Konvergenzradius zum
> Entwicklungspunkt a=0 der folgenden Funktion.
> [mm]f(x):=\bruch{1}{2}(e^{x}+e^{-x})[/mm] für [mm]x\in\IC[/mm]
> Wir haben eine ähnliche Aufgabe im Unterricht gemacht,
> ich habe versucht diese auf meine Aufgabe zu beziehen aber
> ich glaub irgendwas ist falsch, ich weis nur nicht was...
> [mm]e^{x}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
> [mm]e^{-x}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-x)^{k}}{k!}[/mm]
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{2}(\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k!}+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}(-1)^{k}x^{k})[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}(\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}(1+(-1)^{k})x^{k})[/mm]
> =0, falls k ungerade
> =2, falls k gerade
> k=2l+1
>
> [mm]=\bruch{1}{2}(\summe_{l=0}^{\infty}2*\bruch{1}{(2l+1)!}*x^{2l+1})[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm] =\bruch{1}{2}(\summe_{l=0}^{\infty}2*\bruch{1}{(2l)!}*x^{2l})
[/mm]
> [mm]=\summe_{l=0}^{\infty}2*\bruch{1}{(2l+1)!}*x^{2l+1}[/mm]
Und hier
[mm] =\summe_{l=0}^{\infty}\bruch{1}{(2l)!}*x^{2l}
[/mm]
FRED
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