Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es geht um folgendes Youtube-Video bzgl. Konvergenz
https://www.youtube.com/watch?v=2VckMlCYMYc |
Hallo,
ich bin neu hier und finde irgendwie kein Unterforum für Reihen und Folgen.
Ich versuche mir die letzten Tage die Taylorreihen reinzuprügeln, allerdings komme ich nicht mit dem Skript das wir haben zurecht. Bzw. wenn ich das durchlese und versuche zu verstehen, benötige ich für 1 Din A4 seite mehr als den ganzen Tag, weil ich einfach nicht dieser Lerntyp bin. Scheinbar.
Nun schaue ich mir Videos in Youtube an, diese jedoch sind meist nur grob angeschnitten, wodurch mir zu viele Fragen aufkommen.
Ich weiß mittlerweile was genau eine Taylorreihe ist oder besser gesagt was man mit ihr machen kann. Nun kenne ich auch die allgemeine Taylorreihe, jedoch hat der Videoersteller als Beispielaufgaben Dinge wie :
[mm] \summe_{i=0}^{n} \bruch{(x-1)^{n}}{n!}
[/mm]
aber um was genau handelt es sich dabei ?!? klar, um eine reihe, aber die allgemeine form der taylorreihe sieht doch anders aus ?!?..... wie kommt denn sowas zustande und woran erkennt man, dass es sich überhaupt um eine taylorreihe handelt ? und wann genau erreicht man die allgemeine form der taylorreihe, wenn es auch noch x-beliebig viele andere formen gibt ?
ich hoffe ihr wisst wo man denkfehler ist.
gruß Rudi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Zunächst: Wenn du einen ganzen Tag für eine Seite imMathe-Buch brauchst, ist das ganz normal. Ich habe in meinem gesamten Mathe-Studium (12 Semester) nur 4 Scripts (Infini I, Infini II, LA I, LA II), 3 Bücher (Praktische Mathematik, Algebra und Funktionentheorie) und ansonsten nur meine Mitschriften aus den Vorlesungen gelesen. An manchen Beweisen habe ich tagelang geknackt, alles normal. Nur darfst du nicht an jedem Beweis hängen bleiben (sagen wir mal: ab den 3. Semester, da sollte es etwas schneller gehen).
Mathe ist eben nicht Geschichte, Deutsch oder Soziologie, wo man sich kiloweise Geschriebenes reinzieht, Mathe muss verstanden werden. Und das Verständnis kommt mit der Zeit.
Nun zur Taylor-Reihe:
Sie ist eine (endliche oder unendliche) Summe, deren i-ter Summand die Form [mm] a_i*(x-x_0)^i [/mm] hat, wobei [mm] x_0 [/mm] "Entwicklungspunkt" genannt wird.
Das war's schon, aber wir betrachten mal Sonderfälle:
Für [mm] x_0=0 [/mm] vereinfacht sich der Term zu [mm] a_i*x^i.
[/mm]
[mm] a_i [/mm] kann auch ein Bruch sein, eine Wurzel, jeder reelle Wert ist erlaubt, es muss auch keine Gesetzmäßigkeit bei den [mm] a_i-s [/mm] vorhanden sein.
Es dürfen auch Summanden fehlebn, in diesem Fall ist [mm] a_i=0.
[/mm]
Keine Taylorreihe ist z.B. [mm] \bruch{1}{x}+\bruch{2}{x^2}+\bruch{1}{x}+\bruch{3}{x^3}+...., [/mm] weil x nicht im Nenner stehen darf.
Ebenso darf kein Term z.B. [mm] \wurzel{x} [/mm] heißen. Verboten wäre auch [mm] (x-1)^1+(x-2)^2+(x-3)^3+..., [/mm] da nun der Entwicklungspunkt "wandert". (kann aber in eine Taylorreihe umgewandelt werden).
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Was ist nun das besondere an der Taylorreihe?
1. Sie ist "leicht" zu finden, wenn man eine brave Funktion hat und einen schönen Entwicklungspunkt findet.
2. Sie ist eine besonders gute Annäherung an die Ausgansfunktion, bei der der Fehler besonders gut abschätzbar ist und i.a. immer kleiner wird.
Beispiel:
Gesucht ist ln(1,04). Du bist im Urlaub, hast keinen Taschenrechner, kein Internet, Telefon..., aber Bleistift und Papier.
Betrachte f(x)=ln(x).
Dann ist f'(x)=1/x, [mm] f''(x)=-1/x^2, f'''(x)=2/x^3, f''''(x)=-2*3/x^4 [/mm] ..., allgemein: [mm] f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] (-1)^{n-1}(n-1)!/x^n.
[/mm]
Das kannst du aber nicht um x=0 entwickeln, weil dann immer eine 0 im Nenner stünde. Aber ganz einfach wäre der Entwicklungspunkt [mm] x_0=1:
[/mm]
ln(1)=0, der erste Summand entfiele.
[mm] f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] (-1)^{n-1}(n-1)!/1^n= (-1)^{n-1}(n-1)!
[/mm]
Damit wäre [mm] a_n=f^{(n)}/n! [/mm] = [mm] (-1)^{n-1}/n [/mm] für n>1.
Als Taylorreihe ergibt sich damit :
ln(x) = [mm] \bruch{1}{1}(x-1)-\bruch{1}{2}(x-1)^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}(x-1)^3-\bruch{1}{4}(x-1)^4+...
[/mm]
ln(1,04) = [mm] \bruch{1}{1}(0,04)-\bruch{1}{2}(0,04)^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}(0,04)^3-\bruch{1}{4}(0,04)^4+...= 0,04-0,0016/2+0,000064/3-0,00000128/4+...\approx [/mm] 0,039221013 (Taschenrechner-Wert mit ln-Taste: 0,039220713).
Und jetzt rate mal, wie der Taschenrechner den ln berechnet, und [mm] 2^{3,21446} [/mm] oder [mm] \wurzel[6]{3} [/mm] oder sin(43,5)! Natürlich mit Hilfe von Taylor-Reihen!
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vielen dank für die mühe...und auch an leduart...
also erkenne ich eine taylorreihe immer an Term x potenz ?
für was die taylorreihe genutzt wird (annnähren an funktionen...bzw. gewisse abschnitte betrachten und daraus die taylorreihe basteln, klingt schon logisch)
ich denke ich werde es mir noch ein paar mal reinziehen, aber deine erklärung ist schon sehr einleuchtend.
danke euch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Mi 07.01.2015 | | Autor: | fred97 |
Definition:
Sei I ein Intervall in [mm] \IR, [/mm] $f:I [mm] \to \IR$ [/mm] beliebig oft differenzierbar und $a [mm] \in [/mm] I$.
Die Potenzreihe
[mm] $\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$
[/mm]
heißt die Taylorreihe von f mit Entwicklungsstelle a.
FRED
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mal ne frage, was genau ist denn der utnerschied zwischen der normalform einer taylorreihe und diesen aufgaben diesen reihen dort https://www.youtube.com/watch?v=2VckMlCYMYc ?
ich erkenne nicht, dass es sich dabei um taylorreihen handelt....
und wie erkenne ich was an ist um meine an ist, damit ich das WK anwenden kann ?
egal wieviel bücher oder videos ich mir reinziehe...ich verstehe die taylorreihe nicht.... bzw. verstehe ich teile davon, aber auch sehr vieles nicht....super !
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1. Beispiel: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n=\summe_{n=0}^{\infty}n!x^n=\summe_{n=0}^{\infty}n!(x-x_0)^n
[/mm]
also ist [mm] a_n [/mm] = n! und [mm] x_0 [/mm] = 0.
2. Beispiel: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(x-1)^n}{n!}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!}(x-1)^n
[/mm]
also ist [mm] a_n =\bruch{1}{n!} [/mm] und [mm] x_0 [/mm] = 1.
3. Beispiel: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n=\summe_{n=0}^{\infty}x^n=\summe_{n=0}^{\infty}1*(x-0)^n
[/mm]
also ist [mm] a_n [/mm] =1 und [mm] x_0 [/mm] = 0.
4. Beispiel: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n=\summe_{n=0}^{\infty}n^nx^n=\summe_{n=0}^{\infty}n^n*(x-0)^n
[/mm]
also ist [mm] a_n =n^n [/mm] und [mm] x_0 [/mm] = 0.
5. Beispiel: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{nx^n}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n}\bruch{1}{(x-0)^n}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n}(x-0)^{-n}
[/mm]
Keine Taylorreihe, da die Exponenten -n statt n heißen.
Was ist nun daran schwierig, die Taylorreihe, das [mm] x_0 [/mm] oder das [mm] a_n [/mm] zu identifizieren?
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Nehmen wir ein anderes Beispiel:
Du sollst die Gleichung
[mm] ax^2-5(a-4)+13(a^2-1)bx=0 [/mm] nach x auflösen und dafür ädie p-q-Formel verwenden. Jetzt kannst du doch auch nicht sagen:
Ich kann nicht erkennen, dass es eine quadratische Gleichung ist. Ich finde p nicht. Ich finde q nicht.
[mm] ax^2-5(a-4)+13(a^2-1)bx=0 [/mm] |:a
[mm] x^2+\bruch{13(a^2-1)b}{a}x-\bruch{5(a-4)}{a}=0
[/mm]
Und nun ist [mm] p=\bruch{13(a^2-1)b}{a} [/mm] und q = [mm] -\bruch{5(a-4)}{a}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Mo 05.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu deiner youtube Reihe, der hat die Reihe für [mm] e^{x-1} [/mm] an der Stelle x=1 hingeschrieben [mm] e^x [/mm] alle Ableitungen von [mm] e^{x-1} [/mm] sind wieder [mm] e^{x-1} [/mm] an der Stelle x=1 also [mm] e^0=1
[/mm]
Gruß leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:41 Do 08.01.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es geht um folgendes Youtube-Video bzgl. Konvergenz
>
> https://www.youtube.com/watch?v=2VckMlCYMYc
>
> Hallo,
>
> ich bin neu hier und finde irgendwie kein Unterforum für
> Reihen und Folgen.
>
> Ich versuche mir die letzten Tage die Taylorreihen
> reinzuprügeln, allerdings komme ich nicht mit dem Skript
> das wir haben zurecht. Bzw. wenn ich das durchlese und
> versuche zu verstehen, benötige ich für 1 Din A4 seite
> mehr als den ganzen Tag, weil ich einfach nicht dieser
> Lerntyp bin. Scheinbar.
hast Du einen Link zu dem Skript? Alternativ kannst Du etwa mal hier:
![[]](/images/popup.gif) Kapitel 14
reingucken. Oder auch hier:
Kapitel 1.6
Übrigens - und das ist jetzt kein Witz: Zu Taylorreihen findest Du in der
Regel viel in Numerik-Büchern, denn das ist meist eine der Hauptgrundlagen,
mit denen Numerikern arbeiten!
Und da Numeriker gerne auch mal *praxisorientiert* arbeiten, kann Dir evtl.
ein passendes Skript/Buch aus diesem Bereich besser helfen, als jedes
Analysis-Skript/Buch. Aber auch das ist Lerntyp-abhängig...
Gruß,
Marcel
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danke, wie du selbst sagst, das ist lerntypabhängig....nur mein lerntyp ist alles, bloß nicht lernen durch lesen....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Do 29.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> danke, wie du selbst sagst, das ist lerntypabhängig....nur
> mein lerntyp ist alles, bloß nicht lernen durch lesen....
Ohne Lesen wirst Du nichts lernen, na gut Holzhacken vielleicht, Mathematik aber nicht
FRED
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ich will kein mathematiker werden..... wenn ich mathe bei problemlösungen anwenden kann, klappts besser als wenn ich nur trocken mit zahlen jongliere in dem ich ein skript durchlese......weil es einfach total uninteressant ist....langweilig....es mag leute geben, denen macht es tatsächlich spaß :-P
geht es um e-technik,informatik oder sonst was, setze ich mich ein wochenende hin und habs drauf.... aber für die gleiche menge an lernstoff im fach mathe..brauch ich 1 monat....
p.s. das mti den taylorreihen, klappt schon ein wenig besser
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Mi 04.02.2015 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> danke, wie du selbst sagst, das ist lerntypabhängig....nur
> mein lerntyp ist alles, bloß nicht lernen durch lesen....
alleine durch Lesen lernt man keine Mathematik (auch nicht *rein
anwendungsbezogen*), aber ohne Lesen geht es sicher auch nicht.
So, wie Du es beschreibst, solltest Du folgendes ausprobieren: Lese die
Vorlesungsskripte (oder Bücherteile). Alles, was Du beim Lesen nicht (direkt)
verstehst, schreibst Du Dir auf und versuchst, es dabei nachzurechnen bzw.
nachzuvollziehen. (Schreibe Dir Notizen zu den Unklarheiten, die bestehen
geblieben sind, auf. Meinetwegen unterstreiche die Textstellen rot oder
schreibe Dir Randbemerkungen/Fragen an die entsprechende Stelle oder
erstelle eine Frageliste, die man ggf. auch hier im MR *abgeben* darf).
Versuche, die Beispiele im Buch/Skript selbst nachzurechnen, und rechne
auch die entsprechenden Übungsaufgaben dazu. Manchmal findet man
auch ein erstaunliches Ergebnis, welches man vielleicht gar nicht so recht
glauben mag, welches man aber gerade im heutigen Zeitalter gut mithilfe
eines kleinen Programms mal gegentesten kann. So gilt etwa
[mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}=\pi^2/6\,.$
[/mm]
Selbst, wenn man jetzt alles von der Theorie her verstanden hat, wieso
dem so ist/sein soll: Wie kann man das gegentesten?
Man schreibt sich etwa in Octave ein Skript:
| 1: | function Reihenwert = ReihenwertTest(N);
| | 2: | s=0;
| | 3: | for k=1:N
| | 4: | s=s+1/k.^2;
| | 5: | end
| | 6: | Reihenwert=s;
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speichert dieses unter ReihenwertTest.m ab. Danach
| 1: | z=1;
| | 2: | while 1
| | 3: | Abweich = abs(pi^2/6-ReihenwertTest(z));
| | 4: | disp(['Aktuelle Abweichung bei ',num2str(z),'er Teilsumme: ',num2str(Abweich)]);
| | 5: | pause;
| | 6: | z=z+1;
| | 7: | end
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benutzen. ( Abbruch der Schleife mit CTRL+C .)
Gruß,
Marcel
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vielen dank für deine ausführliche information.
gruß rudi
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