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Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 Mi 28.06.2006
Autor: Brokenscene

Aufgabe
Man bestimme die Taylorreihe um X=0 von [mm] f(x)=\ln\bruch{a+x}{a-x} [/mm] , a>0

Tipp: Man zeige zuerst: die k-te Ableitung von f(x) ist gegeben durch:
[mm] f^{(k)}(x)=\bruch{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(a+x)^k}-\bruch{(-1) (k-1)!}{(a-x)^k} [/mm]  , K [mm] \ge [/mm] 1

Wie ichs beweisen soll weiss ich leider nicht aber ich vemrute es muss durch vollständige Induktion laufen.Hab aber leider vergessen wie es läuft bzw. in so einem Fall bin ich noch nie auf vollständige Indunktion gestoßen.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
        
Bezug
Taylorreihe: Induktionsanfang
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:01 Mi 28.06.2006
Autor: Loddar

Hallo Brokenscene!


Die Idee mit vollständiger Induktion ist goldrichtig!


Schreibe die gegebene Funktion zunächst gemäß MBLogarithmusgesetz um:

$f(x) \ = \ [mm] \ln\left(\bruch{a+x}{a-x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \ln(a+x)-\ln(a-x)$ [/mm]


Für den Beweis gemäß MBvollständiger Induktion musst Du zunächst den Induktionsanfang zeigen für $k \ = \ 1$ .

Sprich: wir kontrollieren mit der 1. Ableitung:

$f'(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{a+x}-\bruch{1}{a-x}*(-1) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a+x}+\bruch{1}{a-x}$ [/mm]


Und nun in die Formel einsetzen:


$f'(x) \ = \ [mm] f^{(1)}(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(-1)^{1-1}*(1-1)!}{(a+x)^1}-\bruch{(-1)*(1-1)!}{(a-x)^1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(-1)^0*0!}{a+x}+\bruch{0!}{a-x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1*1}{a+x}+\bruch{1}{a-x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a+x}+\bruch{1}{a-x}$ [/mm]  [ok] erfüllt für $k \ =\ 1$



Für den Induktionsschritt nun einfach diese Form $ [mm] f^{(k)}(x)=\bruch{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(a+x)^k}-\bruch{(-1) (k-1)!}{(a-x)^k} [/mm] $ ableiten, und es sollte folgender Ausdruck entstehen:

$ [mm] f^{(k+1)}(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(-1)^{k}*k!}{(a+x)^{k+1}}-\bruch{(-1)*k!}{(a-x)^{k+1}} [/mm] $


Gruß
Loddar

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