Taylorreihe < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Fr 11.07.2008 | | Autor: | nimet |
| Aufgabe | Man bestimmedie Taylor Reihe von f: [mm] \IR \rightarrow \IR [/mm] mit Entwicklungspunkt a=1 für die folgende Funktion:
[mm] f(x)=3x^3-7x^2+2x+4
[/mm]
Berechnen Sie desweiteren die Taylorreihe von
f: [mm] (-\infty,2)\rightarrow\IR, x\mapsto -log(1-\bruch{x}{2})
[/mm]
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Hallo,
also um ehrlich zu sein habe ich weider mals keine Ahnung!Immer wenn ich versuche die Formel für die Taylorreihe zu suchen, erscheint nur:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{f^n (a)}{n!}(x-a)^n
[/mm]
bloß verstehe ich nicht wie ich es auf die Aufgabe anwenden soll, bzw. wie ich voran gehen soll!
wäre für jede Hilfe dankbar
LG
nimet
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> Man bestimmedie Taylor Reihe von f: [mm]\IR \rightarrow \IR[/mm] mit
> Entwicklungspunkt a=1 für die folgende Funktion:
>
> [mm]f(x)=3x^3-7x^2+2x+4[/mm]
>
> Berechnen Sie desweiteren die Taylorreihe von
> f: [mm](-\infty,2)\rightarrow\IR, x\mapsto -log(1-\bruch{x}{2})[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> also um ehrlich zu sein habe ich weider mals keine
> Ahnung!Immer wenn ich versuche die Formel für die
> Taylorreihe zu suchen, erscheint nur:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{f^n (a)}{n!}(x-a)^n[/mm]
>
> bloß verstehe ich nicht wie ich es auf die Aufgabe anwenden
> soll, bzw. wie ich voran gehen soll!
Hallo,
das a in der Formel ist der Entwicklungspunkt. Bei Deiner Aufgabe also 1. Überall, wo a steht, schreibe 1 hin.
Das nächste, was man wissen muß, ist, was mit [mm] f^{(n)} [/mm] gemeint ist.
Das ist die n-te Ableitung der Funktion.
Du brauchst also die 1., 2. , 3., 4., 5., 6. usw. Ableitung.
Da Du nicht bis zum St.Nimmerleinstag ableiten willst, solltest Du Ausschau nach einer Regel für die k-te Ableitung halten. (Hast Du sie gefunden, muß sie natürlich bewiesen werden.)
So, ich finde, jetzt kannst Du anfangen.
Mach mal und zeig dann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Fr 11.07.2008 | | Autor: | nimet |
hallo Angela,
vorweg danke für deine Hilfe!
also habs versucht:
[mm] f(x)=3x^3-7x^2+2x+4
[/mm]
[mm] f'(x)=9x^2-14x+2
[/mm]
[mm] f^2(x)=18x-14
[/mm]
[mm] f^3(x)=18
[/mm]
[mm] f^4(x)=0
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] für a=1 f(1)=2, f'(1)=-3, [mm] f^2(1)=4, f^3(1)=18, f^4(1)=0
[/mm]
also bin dann so weiter verfahren:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{f^n(a)}{n!} (x-a)^n=\bruch{f^0(1)}{0!} (x-1)^0 [/mm] + [mm] \bruch{f^1(1)}{1!} (x-1)^1 [/mm] + [mm] \bruch{f^2(1)}{2!} (x-1)^2 [/mm] + [mm] \bruch{f^3(1)}{3!} (x-1)^3 [/mm] + [mm] \bruch{f^4(1)}{4!} (x-1)^4
[/mm]
und jetzt???hoffe ist richtig!!!!
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> hallo Angela,
> vorweg danke für deine Hilfe!
>
> also habs versucht:
>
> [mm]f(x)=3x^3-7x^2+2x+4[/mm]
> [mm]f'(x)=9x^2-14x+2[/mm]
> [mm]f^2(x)=18x-14[/mm]
> [mm]f^3(x)=18[/mm]
> [mm]f^4(x)=0[/mm]
>
> [mm]\rightarrow[/mm] für a=1 f(1)=2, f'(1)=-3, [mm]f^2(1)=4, f^3(1)=18, f^4(1)=0[/mm]
>
> also bin dann so weiter verfahren:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{f^n(a)}{n!} (x-a)^n=\bruch{f^0(1)}{0!} (x-1)^0[/mm]
> + [mm]\bruch{f^1(1)}{1!} (x-1)^1[/mm] + [mm]\bruch{f^2(1)}{2!} (x-1)^2[/mm] +
> [mm]\bruch{f^3(1)}{3!} (x-1)^3[/mm] + [mm]\bruch{f^4(1)}{4!} (x-1)^4[/mm]
>
> und jetzt???hoffe ist richtig!!!!
Na also, das sieht doch schon ganz nett aus.
Nun steht da ja nicht die Ableitung an der Stelle x, sondern es kommen die Ableitungen an der Stelle 1 vor, das mußt Du noch ausrechnen.
Auf jeden Fall siehst Du schon, daß die Taylorreihe zu Deinem Polynom (und zu jedem anderen Polynom!) endlich ist, denn die Ableitungen sind ja irgendwann alle =0.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Fr 11.07.2008 | | Autor: | nimet |
sorry angela hab dich jetzt nicht so recht verstanden!
könntest du es bitte etwsa anders formulieren???
mein nächster schrit wäre ausklammer zusammen fassen etc!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Fr 11.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo nimet!
Berechne die einezlenen Brüche [mm] $\bruch{f^0(1)}{0!}$ [/mm] und [mm] $\bruch{f^1(1)}{1!}$ [/mm] und [mm] $\bruch{f^2(1)}{2!}$ [/mm] und ...
Diese Werte dann in die Taylor-Formel einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Fr 11.07.2008 | | Autor: | nimet |
hallo Loddar,
also habs gemacht!bei mir steht als endergbenis:
[mm] 3x^3-7x^2+2x+4
[/mm]
ist das richtig????also hab eingesetzt, ausgeklammert und zusammengefasst!müsste eigentlich stimmen sofern ich mich nicht verrechnet habe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Fr 11.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo nimet!
Dass dies richtig ist, erkennst Du doch schnell durch Vergleichen mit der Aufgabenstellung.
Allerdings sollst Du die Terme [mm] $(x-1)^{...}$ [/mm] nicht ausmultiplizieren. Es sollte am Ende dastehen etwas à la:
[mm] $$A*(x-1)^0+B*(x-1)^1+C*(x-1)^2+D*(x-1)^3$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Fr 11.07.2008 | | Autor: | nimet |
ok gut sowas steht auch bei mir!bloß ist es schlimm wenn ich ausklammere oder ist es besser wenn ich es so stehe habe wie du???
also habe auch die zweite versucht, die leider nciht so leicht war wie die erste!:(
bei mir steht für [mm] f(x)=-log(1-\bruch{x}{2})
[/mm]
[mm] f'(x)=-\bruch{1}{1-\bruch{x}{2}}\*(-\bruch{1}{2})=1(2-x)^{-1}
[/mm]
[mm] f^2(x)=(2-x)^{-2}
[/mm]
[mm] f^3(x)=2(2-x)^{-3}
[/mm]
.....
[mm] f^n(x)=(n-1)!(2-x)^n
[/mm]
bin ich da richtig????
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Fr 11.07.2008 | | Autor: | nimet |
wobei ich vergessen habe zu sagen, dass mein a=0 für die zweite Funktion ist!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Fr 11.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo nimet.
Ja, du hast die richtige Formel für die n-te Ableitung.
jetzt nur noch in die [mm] f^{(n)} [/mm] x=0 einsetzen und die unendliche Summe hinschreiben.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Fr 11.07.2008 | | Autor: | nimet |
hallo leduart,
danke für deine Antwort!
habe bei mir stehen: [mm] f^n(0)=(n-1)!2^{-n}
[/mm]
also für meine summe würde das heißen:
[mm] ...=0\*x^0+\bruch{1}{2}x^1+\bruch{1}{8}x^2+....+\bruch{(n-1)!}{n!}\*2^{-n}\*x^n
[/mm]
ist das korrekt????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Fr 11.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig! 
schöner wärs noch [mm] \bruch{(n-1)!}{n!}=\bruch{1}{n}
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Fr 11.07.2008 | | Autor: | nimet |
hallo,
ja ok gut werde dann noch verfeiern!;)
danke leduart!
LG
nimet
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