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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 So 09.11.2008 | | Autor: | sardelka |
Hallo,
ich habe eine Frage, die muss ich aber auch leider sehr schnell beantwortet haben, weil mein Lehrer mir vor einer Stunden geschrieben hat, dass ich es morgen im Referat miterklären sollte. Dabei versteh ich es selbst nicht ganz.
Also ich halte Referat was eine Taylorreihe ist usw.
Dabei soll ich den Restglied ebenfalls "erwähnen und darstellen".
Nun möchte ich gerne meinem Kurs vorführen wie man ihn ausrechnet.
Ich nimm die Langrang´sche Darstellung des Restgliedes.
(ich schreib sie jetzt nicht auf, weil zu viel Zeit verlier).
dabei hat man ja dieses [mm] \delta [/mm] , eigentlich ist es ja epsilon glaube ich, finde ich aber hier nicht als darstellung, und dieses liegt im Intervall zwischen x und dem Entwicklungspunkt a.
Wenn ich z.B. aufgabe habe:
f(x)= [mm] (1-x)^{-1} [/mm] an der Stelle x=0
Wenn mir jetzt gesagt wird, dass ich den Restglied aufstellen soll, dann muss glaube ich noch ein x gegeben werden, bei dem ich ja den abgeschätzten Fehler berechnen soll, um den sich das berechnete vom echten Ergebnis unterscheidet.
Oder?
Mein größtes Problem nun..
Wie groß setze ich [mm] \delta [/mm] ein?! denn das muss ja zwischen w und Entwicklungspunkt liegen.
Dann muss ich ja noch 1. Ableitung bilden und dann den Maximum berechnen, warum Max und kein Min?
Und löse ich dann dort nach [mm] \delta [/mm] auf oder wie?
Wäre sehr sehr dankbar, wenn es noch jemand beantwortet
Liebe Grüße
sardelka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 So 09.11.2008 | | Autor: | chrisno |
Mach Dir nicht zu viele Gedanken. So wie Du es beschrieben hast, solltest Du
- sagen, dass es ein Restglied gibt,
- eine Form des Restglieds hinschreiben,
- dies noch für ein Beispiel ausführen
Dann ist es so, dass die Berechnung des Restglieds oft Probleme bereitet. Der Mathematiker ist stolz, dass er bewiesen hat, dass es ein Epsilon gibt. Man versucht dann das Integral abzuschätzen, wie groß kann es denn höchstens werden? Nun nimmt man diesen Fall an und hat damit eine sicheren Wert, um den das Ergebnis der Reihe höchstens vom Wert der Funktion abweichen kann.
Das ist aber Stoff für einen extra Vortrag.
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guten Abend sardelka,
das ist ein bisschen spät für die Vorbereitung eines Referats,
doch ich möchte ein paar (hoffentlich hilfreiche) Anmerkungen
machen.
> Also ich halte Referat was eine Taylorreihe ist usw.
> Dabei soll ich den Restglied ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
es heisst "das Restglied"
> ebenfalls "erwähnen und darstellen".
>
> Nun möchte ich gerne meinem Kurs vorführen wie man ihn
es
> ausrechnet.
> Ich nehme die Langrang´sche Darstellung des Restgliedes.
Lagrange (hinten ausgesprochen wie Orange)
> dabei hat man ja dieses [mm]\delta[/mm] , eigentlich ist es ja
> epsilon glaube ich, finde ich aber hier nicht als
> darstellung, und dieses liegt im Intervall zwischen x und
> dem Entwicklungspunkt a.
>
> Wenn ich z.B. aufgabe habe:
> f(x)= [mm](1-x)^{-1}[/mm] an der Stelle x=0
>
> Wenn mir jetzt gesagt wird, dass ich das Restglied
> aufstellen soll, dann muss glaube ich noch ein x gegeben
> werden, bei dem ich ja den abgeschätzten Fehler berechnen
> soll, um den sich das berechnete vom echten Ergebnis
> unterscheidet.
> Oder?
>
> Mein größtes Problem nun..
> Wie groß setze ich [mm]\delta[/mm] ein?! denn das muss ja zwischen
> w und Entwicklungspunkt liegen.
>
> Dann muss ich ja noch die 1. Ableitung bilden und dann den
das Maximum das Minimum
> Maximum berechnen, warum Max und kein Min?
> Und löse ich dann dort nach [mm]\delta[/mm] auf oder wie?
Für eine ausführliche Darstellung ist die Zeit wohl zu knapp.
Nehmen wir ein einfaches Beispiel:
[mm] f(x)=(2-x)^{-1}=\bruch{1}{2-x}
[/mm]
[mm] f'(x)=-(2-x)^{-2}*(-1)=(2-x)^{-2}=\bruch{1}{(2-x)^2}
[/mm]
[mm] f''(x)=-2*(2-x)^{-3}*(-1)=2*(2-x)^{-3}=\bruch{2}{(2-x)^3}
[/mm]
[mm] f'''(x)=2*(-3)*(2-x)^{-4}*(-1)=6*(2-x)^{-4}=\bruch{6}{(2-x)^4}
[/mm]
Nun entwickeln wir das Taylorpolynom 2.Ordnung an der Stelle [mm] x_0=1
[/mm]
Es gilt:
$\ [mm] f(x_0)=f(1)=\bruch{1}{2-x_0}=\bruch{1}{2-1}=\bruch{1}{1}=1$
[/mm]
$\ [mm] f'(x_0)=f'(1)=\bruch{1}{(2-1)^2}=1$
[/mm]
$\ [mm] f''(x_0)=f''(1)= [/mm] ...... =2$
$\ [mm] f'''(x_0)= [/mm] f'''(1)= ...... = 6$
Nach der Taylorformel ergibt sich:
$\ [mm] f(x)=f(x_0)+\bruch{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)^1+\bruch{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+R_2(x)$
[/mm]
$\ [mm] f(x)=f(1)+\bruch{f'(1)}{1!}(x-1)^1+\bruch{f''(1)}{2!}(x-1)^2+R_2(x)$
[/mm]
$\ [mm] f(x)=1+\bruch{1}{1!}(x-1)^1+\bruch{2}{2!}(x-1)^2+R_2(x)$
[/mm]
$\ [mm] f(x)=1+(x-1)^1+(x-1)^2+R_2(x)$
[/mm]
Wenn man nun z.B. wissen will, wie gross der Fehler
an der Stelle x=1.1 höchstens sein kann, muss
man das Restglied betrachten. Es gilt:
$\ [mm] \left|R_2(1.1)|\le \left|\bruch{f'''(x_1)}{3!}(x-x_0)^3\right|= \left|\bruch{f'''(x_1)}{3!}(1.1-1)^3\right|= \left|\bruch{f'''(x_1)}{6000}\right|$
x_1 ist dabei eine unbekannte Stelle zwischen 1 und 1.1.
Man kann sich nun aber klar machen: $\ f'''(x)$ ist im Bereich
zwischen 1 und 1.1 monoton, und es ist $\ f'''(1)=6$ und $\ f'''(1.1)\approx 9.15<10$
Wenn x_1 zwischen 1 und 1.1 liegt, ist also sicher $\ \left|\bruch{f'''(x_1)}{6000}\right|<\left|\bruch{10}{6000}\right|=\bruch{1}{600}$
Das heisst: wenn man statt des exakten Funktionswertes $\ \bruch{1}{2-1.1}$
den Wert des Taylorpolynoms ausrechnet, also:
$\ T_2(1.1)=1+(1.1-1)^1+(1.1-1)^2=1+0.1+0.01=1.11$
so liegt man höchstens um $\ \bruch{1}{600}=0.001666....$
daneben.
Genaue Rechnung zeigt: $\ f(1.1)=\bruch{1}{2-1.1}=\bruch{1}{0.9}=1.111111....$
Der wahre Fehler ist also $\ 0.0011111...$ und tatsächlich kleiner als $\ 0.001666....$
Gute Nacht !
[/mm]
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