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Hallo,
Woher weiß man bei einer Aufgabe, in der eine Taylorreihe gesucht ist, ob man sie mit der Taylor-Formel entwicklen soll oder aus bekannten Reihen zusammensetzen? Was ist wenn ein Entwicklungspunkt ungleich 0 gegeben ist, dann muss man doch die Formel nehmen, oder kann man auch bei bekannten Reihen (x-2) einsetzen?
chris
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Hallo Cris,
ich versuche mal einen Teil zu beantworten.
> Woher weiß man bei einer Aufgabe, in der eine Taylorreihe
> gesucht ist, ob man sie mit der Taylor-Formel entwicklen
> soll oder aus bekannten Reihen zusammensetzen?
Das ist eine gute Frage. Also ich habe bei allen meinen Aufgaben stets die Reihe komplett entwickelt und sie nicht zusammen gesetzt.
> Was ist wenn
> ein Entwicklungspunkt ungleich 0 gegeben ist, dann muss man
> doch die Formel nehmen, oder kann man auch bei bekannten
> Reihen (x-2) einsetzen?
Hm, also Entwicklungspunkt 0 ist ja der Spezialfall der Taylorschen Formel (Mac Laurinsche Formel). In einem Fall wo der Entwicklungspunkt ungleich 0 ist, muss man die allgemeine Form der Taylorschen Reihe benutzen. Im Wikipedia steht etwas dazu, vielleicht hilft dir das weiter:
http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Reihe
http://de.wikipedia.org/wiki/MacLaurinsche_Reihe
Gruß
Andreas
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1) Aus vorhandenen Reihen eine neue zu formulieren macht nur Sinn wenn eine Beziehung herrscht,
wie z.B. [mm] tan(x)=\bruch{sin(x)}{cos(x)} [/mm] ansonsten einfach die normale Entwicklung vollziehen.
2) [mm] T_{n}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{f^{k}(x_{0})(x-x_{0})^{k}}{k!}
[/mm]
Wobei [mm] x_{0} [/mm] dein Entwicklungspunkt ist ( wird einfach eingesetzt)
Wenn Du nun eine Tayloreihe vom Grad n=3 an der Stelle [mm] x_{0}=2 [/mm] berechnen möchtest,
dann sieht das wie folgt aus: [mm] T_{3}=\summe_{k=1}^{3}\bruch{f^{k}(x_{0})(x-2)^{k}}{k!}
[/mm]
[mm] =f^{0}(2)+ \bruch{f^{1}(2)(x-2)^{1}}{1!}+\bruch{f^{2}(2)(x-2)^{2}}{2!}+\bruch{f^{3}(2)(x-2)^{3}}{3!}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Sa 19.03.2005 | | Autor: | chris2000 |
> 1) Aus vorhandenen Reihen eine neue zu formulieren macht
> nur Sinn wenn eine Beziehung herrscht,
> wie z.B. [mm]tan(x)=\bruch{sin(x)}{cos(x)}[/mm] ansonsten
> einfach die normale Entwicklung vollziehen.
Manchmal kann man durch ein paar Umformungen, z.B. Ausklammern, auf solche Beziehungen kommen aber das zu erkennen ist nicht immer einfach.
Danke für eure Antworten - auch an Andreas!
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