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Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:53 Sa 04.07.2009
Autor: Sachsen-Junge

Hallo liebes Team,

ich soll die Taylorreihe von arctan(x) in x=0 bestimmen.

Zunächst meine Ausführung:

f(x)=arctan(x)
[mm] f'(x)=\frac{1}{1+x^2}\underbrace{=}_{geom. Reihe} \summe_{i=0}^{\infty}(-x^2)^i [/mm]

Weiter weiß ich, das f(0)=0 ist.

Ich bin sicherlich nicht am Ende....?
Ich wäre für Tipps sehr dankbar.

LG

Es steht dann also da:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{f^{n}(0)}{n!}*(x)^n=\summe_{i=0}^{\infty}(-x^2)^i [/mm]
        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Sa 04.07.2009
Autor: fencheltee


> Hallo liebes Team,
>  
> ich soll die Taylorreihe von arctan(x) in x=0 bestimmen.
>  
> Zunächst meine Ausführung:
>  
> f(x)=arctan(x)
>  [mm]f'(x)=\frac{1}{1+x^2}\underbrace{=}_{geom. Reihe} \summe_{i=0}^{\infty}(-x^2)^i[/mm]

genau, diese Reihe steht ja nun für f'(x). also musst du die reihe noch integrieren, um wieder auf f(x) zu kommen! dafür lasse besser
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}(-1)^i*(x)^{2i} [/mm] stehen
>  
> Weiter weiß ich, das f(0)=0 ist.
>  
> Ich bin sicherlich nicht am Ende....?
>  Ich wäre für Tipps sehr dankbar.
>  
> LG
>  
> Es steht dann also da:
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{f^{n}(0)}{n!}*(x)^n=\summe_{i=0}^{\infty}(-x^2)^i[/mm]
>  

Bezug
                
Bezug
Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:40 Sa 04.07.2009
Autor: Sachsen-Junge


> > Hallo liebes Team,
>  >  
> > ich soll die Taylorreihe von arctan(x) in x=0 bestimmen.
>  >  
> > Zunächst meine Ausführung:
>  >  
> > f(x)=arctan(x)
>  >  [mm]f'(x)=\frac{1}{1+x^2}\underbrace{=}_{geom. Reihe} \summe_{i=0}^{\infty}(-x^2)^i[/mm]
>  
> genau, diese Reihe steht ja nun für f'(x). also musst du
> die reihe noch integrieren, um wieder auf f(x) zu kommen!
> dafür lasse besser
>  [mm]\summe_{i=0}^{\infty}(-1)^i*(x)^{2i}[/mm] stehen
>  >  

Hallo,

wie kommst du auf diese Umformung?

Meine Ausführung:
[mm] f'(x)=\summe_{i=0}^{\infty}(-1)^i*(x)^{2i} [/mm]
dann ist [mm] f(x)=\summe_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{2i+1}*x^{2i+1} [/mm]

Das ist dann meine Entwicklung in x=0 ?

LG
> > Weiter weiß ich, das f(0)=0 ist.
>  >  
> > Ich bin sicherlich nicht am Ende....?
>  >  Ich wäre für Tipps sehr dankbar.
>  >  
> > LG
>  >  
> > Es steht dann also da:
>  >  
> >
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{f^{n}(0)}{n!}*(x)^n=\summe_{i=0}^{\infty}(-x^2)^i[/mm]
> >  

>  

Bezug
                        
Bezug
Taylorreihe: Potenzgesetze
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:55 Sa 04.07.2009
Autor: Loddar

Hallo Sachsen-Junge!


> > dafür lasse besser [mm]\summe_{i=0}^{\infty}(-1)^i*(x)^{2i}[/mm] stehen

> wie kommst du auf diese Umformung?

Durch Anwendung der MBPotenzgesetze:
[mm] $$\left(-x^2\right)^i [/mm] \ = \ [mm] \left[(-1)*x^2\right]^i [/mm] \ = \ [mm] (-1)^i*\left(x^2\right)^i [/mm] \ = \ [mm] (-1)^i*x^{2*i}$$ [/mm]

  
> Meine Ausführung:
> [mm]f'(x)=\summe_{i=0}^{\infty}(-1)^i*(x)^{2i}[/mm]
> dann ist [mm]f(x)=\summe_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{2i+1}*x^{2i+1}[/mm]
>  
> Das ist dann meine Entwicklung in x=0 ?

[ok] Ja, wie Du auch []hier nachlesen kannst.


Gruß
Loddar

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