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Taylorreihe: arctan
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:58 Di 17.05.2005
Autor: Biene_Hamburg

Hallo liebe Leute,

kann mir irgendjemand helfen, den Ansatz zu einer Aufgabe zufinden? Ich kom mit dem thema taylorreihen noch absolut nicht klar...

Aufgabe:
Bestimmen Sie die Taylorreihe der Funktion arctan: [mm] (-\infty,\infty) \to \IR [/mm] im Entwicklungspunkt 0 durch integration der Taylorreihe der Ableitung von arctan.



Was muß ich tun???? Ich hab keinen blassen schimmer, bitte helft mir!

Danke,

Biene

        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Di 17.05.2005
Autor: Julius

Hallo Biene!

Es gilt ja:

(*) [mm] $\arctan'(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{1+x^2}$. [/mm]

Weiterhin ist (geometrische Reihe):

[mm] $\frac{1}{1+x^2} [/mm] = [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n [/mm] = [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$ [/mm]

die Taylorreihe der Funktion [mm] $\frac{1}{1+x^2}$ [/mm] mit Entwicklungspunkt $0$.

Gliedweises Integrieren dieser Reihe liefert dir nun nach (*) die Taylorreihe der Arkustangens-Funktion.

Viele Grüße
Julius

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Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:26 Di 17.05.2005
Autor: Phlipper

[mm] \summe_{i=0}^{n}(-1)^{n} x^{2n+1}/2n+1 [/mm]
ist das die Integrierte Summe oder wie ist das endgültige Ergebnis ?

Bezug
                
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Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:03 Di 17.05.2005
Autor: Paulus

Hallo Phlipper

>  [mm]\summe_{i=0}^{n}(-1)^{n} x^{2n+1}/2n+1[/mm]
>  ist das die
> Integrierte Summe oder wie ist das endgültige Ergebnis ?

Das wäre gut, wenn du nicht so nachlässig mit dem Index umgehen würdest! Ebenfalls ist die Formel nicht ganz eindeutig, wenn du nicht mit Klammern arbeitest! So wie du das geschrieben hast, würde das +1 nicht mehr unter den Bruch kommen! Und wo ist das Unendlich plötzlich hingekommen? ;-)

Ich würde es also eher so schreiben:

[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n+1}}{2n+1}$ [/mm]

Beachte auch die Bezeichnung des Index.

Du darfst den nicht einfach i taufen, im zu summierenden Ausdruck aber n belassen. :-)

Mit lieben Grüssen

Paul

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Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:45 Mi 18.05.2005
Autor: Deuterinomium

Ich habe dieselbe Aufgabe, mit der Einschränkung dass das Intervall nur (-1,1) ist und ich nicht über das Integral gehen soll. Kennt ihr noch einen anderen Weg?

Bezug
                                
Bezug
Taylorreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:04 Mi 18.05.2005
Autor: Julius

Hallo!

Ich habe dir in dem anderen Thread auf diese Frage geantwortet.

Viele Grüße
Julius

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