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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 So 08.08.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | | Gegeben sei [mm] f:[-1,\infty) [/mm] --> [mm] \R f(x)=\wurzel{1+x}. [/mm] Bestimmen sie die Taylorreihe von f um [mm] x_0=0, [/mm] sowie deren Konvergenzradius. |
Hallo,
bei Aufgaben wo steht, bestimmen sie die Taylorreihe der Ordnung....habe ich keine Probleme mehr, aber wenn es darum geht eine Allgemeine Formel zu finden, die induktiv beweist werden soll, habe ich noch große Schwierigkeiten.
Ich habe hier die ersten drei Ableitungen:
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}(1+x)^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] f''(x)=-\bruch{1}{4}(1+x)^{-\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{3}{8}(1+x)^{-\bruch{5}{2}}
[/mm]
muss ich jetzt eine allgemeine Formel finden?
Ich habe irgendwie überhaupt keine Ahnung wie man darauf kommt.
Ich bin dankbar für jeden Hinweis.
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:26 So 08.08.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schau doch mal nach, was sich in den einzelnen Ableitungen verändert.
Das sind hier der Exponent und der Koeffizient (inklusive das Vorzeichen dessen). Diese musst du nun irgendwie in das Verhältnis zum Grad der Ableitung, nennen wir ihn n, setzen.
Dazu noch ein paar Hinweise:
[mm] f'(x)=f^{(\green{1})}=(-1)^{1-1}\bruch{1}{2^{1}}*(1+x)^{\bruch{-2*1+1}{2}}
[/mm]
[mm] f''(x)=f^{(\green{2})}=-\bruch{1}{4}*(1+x)^{\bruch{-3}{2}}=(-1)^{(2-1)}\bruch{1}{2^{2}}*(1+x)^{\bruch{-2*2+1}{2}}
[/mm]
Versuche jetzt nochmal herauszufinden, wie sich der Zähler des Koeffizienten verändert.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 So 08.08.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
danke als erstes für die schnelle Antwort!
>
> Dazu noch ein paar Hinweise:
>
> [mm]f'(x)=f^{(\green{1})}=(-1)^{1-1}\bruch{1}{2^{1}}*(1+x)^{\bruch{-2*1+1}{2}}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=f^{(\green{2})}=-\bruch{1}{4}*(1+x)^{\bruch{-3}{2}}=(-1)^{(2-1)}\bruch{1}{2^{2}}*(1+x)^{\bruch{-2*2+1}{2}}[/mm]
>
> Versuche jetzt nochmal herauszufinden, wie sich der Zähler
> des Koeffizienten verändert.
>
> Marius
Der Zähler des Koeffizienten verändert sich: [mm] (-1)^{n-1}
[/mm]
aber was ich nicht verstanden habe ich, wieso:> [mm][mm] f'(x)=f^{(\green{1})}=(-1)^{1-1}...
[/mm]
das würde doch -1/2 ergeben oder nicht? aber die erste ableitung hat 1/2 als Koeffizienten.
Lg Melisa
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> aber was ich nicht verstanden habe ich, wieso:>
> [mm][mm]f'(x)=f^{(\green{1})}=(-1)^{1-1}...[/mm]
> das würde doch -1/2 ergeben oder nicht?
Hallo,
zweiteres...
Vielleicht denkst Du mal darüber nach, was "Zahl hoch Null" stets ergibt.
Gruß v. Angela
> aber die erste ableitung hat 1/2 als Koeffizienten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 So 08.08.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
Zahl hoch Null ergibt 1 das weiß ich, ich dachte nur bei - ergibt das -1 was anscheinend nicht der Fall ist. Jetzt weiß ich bescheid. Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 So 08.08.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich habe:
[mm] (-1)^{(n-1)}\bruch{1}{2^n}*(1+x)^{\bruch{-2n+1}{2}}
[/mm]
stimmt das?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 So 08.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
>
> ich habe:
>
> [mm](-1)^{(n-1)}\bruch{1}{2^n}*(1+x)^{\bruch{-2n+1}{2}}[/mm]
>
>
> stimmt das?
Nein. Das stimmt ja schon für die 3. Ableitung nicht:
$ [mm] f'''(x)=\bruch{3}{8}(1+x)^{-\bruch{5}{2}} [/mm] $
FRED
>
>
> Lg
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Ich sitze schon eine Stunde vor der Aufgabe, kann aber leider kein Bildungsgesetz für den Bruch finden...gibt es überhaupt eine Lösung?
$ [mm] (-1)^{(n-1)}\bruch{???}{2^n}\cdot{}(1+x)^{\bruch{-2n+1}{2}} [/mm] $
=>
$ [mm] f'''(x)=\bruch{3}{8}(1+x)^{-\bruch{5}{2}} [/mm] $
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Hallo!
Es ist
$f(x) = [mm] (1+x)^{1/2}$
[/mm]
[mm] $f^{(1)}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}*(1+x)^{-1/2}$
[/mm]
[mm] $f^{(2)}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}*\left(-\frac{1}{2}\right)*(1+x)^{-3/2}$
[/mm]
[mm] $f^{(3)}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}*\left(-\frac{1}{2}\right)*\left(-\frac{3}{2}\right)*(1+x)^{-5/2}$
[/mm]
[mm] $f^{(4)}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}*\left(-\frac{1}{2}\right)*\left(-\frac{3}{2}\right)*\left(-\frac{5}{2}\right)*(1+x)^{-7/2}$
[/mm]
usw.
Das heißt:
[mm] $f^{(4)}(x) [/mm] = [mm] \frac{(-1)^{4-1}}{2^{4}}*[1*3*5]*(1+x)^{-7/2}$.
[/mm]
Der fehlende Term ist also das Produkt der ungeraden Zahlen von 1 bis (2*4-3).
Allgemein:
[mm] $f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}*[1*3*5*...*(2n-3)]*(1+x)^{-(2n-1)/2}$.
[/mm]
Nun muss man sich nur noch überlegen, wie man das Produkt von den ungeraden Zahlen schöner schreiben kann. Dazu:
$1*3*5*...*(2n-3) = [mm] \frac{(2n-3)!}{2*4*6*...*(2n-4)} [/mm] = [mm] \frac{(2n-3)!}{2^{n-2}*(1*2*3*...*(n-2))} [/mm] = [mm] \frac{(2n-3)!}{2^{n-2}*(n-2)!}$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 So 08.08.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du musst den Zähler des Koeffizienten noch anpassen. Dazu solltest du dir mal Gedanken machen, wie der Zähler entsteht.
Der koeffizient wird ja mit einer Zahl multipliziert, die aus dem "alten" Exponenten stammt, und die du schon korrekterweise bestimmt hast.
Versuche mal, diese ducht den neuen "Ableitungsgrad" n zu bestimmen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 So 08.08.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich bin schon die ganze Zeit am überlegen, jedoch komme ich nicht weiter.
Bin ich auf dem richtigen Weg, wenn ich sage, der Zähler muss was mit (-2n+1) und dem Ableitungsgrad sein?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 So 08.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
"was zu tun" ist sehr vage! Wenn du was raus hast, versuch es vor dir selbst und uns zu begründen, dann weisst du ob es stimmt oder nicht.
wie kommst du von der 2 ten zur dritten zur vierten Ableitung usw.? Alles was du raus hast kannst du ja leicht an den paar ersten Ableitungen überprüfen! Nur so lernst du ohne uns auszukommen.
gruss leduart
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