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Hallo, brauche Paar Tipps zur Berechnung der Taylorreihe folgender Funktionen:
a) [mm] log(1+x^{2})
[/mm]
b) [mm] sin^{2}(x)
[/mm]
kann man bei b einfach zwei reihen miteinander multiplizieren:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!}*\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!}=...
[/mm]
Geht das???
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Hallo,
> b) [mm]sin^{2}(x)[/mm]
>
> kann man bei b einfach zwei reihen miteinander
> multiplizieren:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!}*\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!}=...[/mm]
> Geht das???
klar geht das.
Gruß
MathePower
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Geht das einfach so:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\cdot{}\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!}= \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^{(2n+1)*(2n+1)}}{(2n+1)!*(2n+1)!} [/mm] ????
Was ist mit a)
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Hallo,
> Geht das einfach so:
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\cdot{}\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!}= \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^{(2n+1)*(2n+1)}}{(2n+1)!*(2n+1)!}[/mm]
> ????
Nein. Das ist die Multiplikation von zwei Polynomen.
Sicher. Eine Summenformel kann man mit Hilfe des Cauchy-Produktes finden:
[mm]\begin{array}{l}
\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^n \;\frac{{x^{2n + 1} }}{{\left( {2n + 1} \right)!}}} } \right)^2 \; = \;\sum\limits_{i = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^i \;\frac{{x^{2i + 1} }}{{\left( {2i + 1} \right)!}}} \;\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^j \;\frac{{x^{2j + 1} }}{{\left( {2j + 1} \right)!}}} \\
= \;\sum\limits_{l = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^l \;x^{2l + 1} \;\sum\limits_{j = 0}^l {\frac{1}{{\left( {2j + 1} \right)!\;\left( {2\left( {l\; - \;j} \right)\; + \;1} \right)!}}} } \\
\end{array}[/mm]
Gruß
MathePower
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Aber kann man das alles nicht unter ein Summenzeichen bringen,
Ich glaub nicht dass die Taylor reihe für [mm] sin^{2} [/mm] (x) so kompliziert ist!?!
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Hallo johann,
> Aber kann man das alles nicht unter ein Summenzeichen
> bringen,
> Ich glaub nicht dass die Taylor reihe für [mm]sin^{2}[/mm] (x) so
> kompliziert ist!?!
Falls Du einen geschlossenen Ausdruck für die zweite Summe findest, läßt sich das alles unter ein Summenzeichen bringen.
[mm] \begin{array}{l}\;\sum\limits_{l = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^l \;x^{2l + 1} \;\sum\limits_{j = 0}^l {\frac{1}{{\left( {2j + 1} \right)!\;\left( {2\left( {l\; - \;j} \right)\; + \;1} \right)!}}} } \\ \end{array} [/mm]
Gruß
MathePower
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Danke
a) bleibt jedoch offen
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Hallo johann,
zur Bestimmung der Taylorreihe von [mm]\lg \;\left( {1\; + \;x^2 } \right)[/mm]:
Nehme die Reihe für [mm]\lg \left( {1\; + \;x} \right)[/mm] her und ersetze x durch [mm]x^{2}[/mm].
Gruß
MathePower
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für ln(1+x) gilt
[mm] ln(1+x)=\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{ (-1)^{n}x^{n} }{n} [/mm] (richtig?)
was bedeutet das für ln( [mm] 1+x^{2} [/mm] )
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{ (-1)^{n}x^{2n} }{n} [/mm] (???)
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Hallo johann,
> für ln(1+x) gilt
> [mm]ln(1+x)=\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{ (-1)^{n}x^{n} }{n}[/mm]
> (richtig?)
ja.
> was bedeutet das für ln( [mm]1+x^{2}[/mm] )
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{ (-1)^{n}x^{2n} }{n}[/mm] (???)
Das stimmt auch.
Gruß
MathePower
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bei [mm] sin^{2} [/mm] (x)
kann ich ja schreiben:
f'(0)=0
f''(0)=2
f'''(0)=0
f""(0)=-8
f""'(0)=0
f"""(0)=32
...
Ist das zusammengefasst:
[mm] f^{(n)}(0)=(-1)^{n+1}2^{2n-1} [/mm] ???
Wie kann ich die Formel beweisen um dann die taylorreihe aufstellen dürfen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}2^{2n-1}x^{2n}}{2n!}
[/mm]
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Hallo,
> bei [mm]sin^{2}[/mm] (x)
>
> kann ich ja schreiben:
> f'(0)=0
> f''(0)=2
> f'''(0)=0
> f""(0)=-8
> f""'(0)=0
> f"""(0)=32
> ...
> Ist das zusammengefasst:
> [mm]f^{(n)}(0)=(-1)^{n+1}2^{2n-1}[/mm] ???
> Wie kann ich die Formel beweisen um dann die taylorreihe
> aufstellen dürfen:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}2^{2n-1}x^{2n}}{2n!}[/mm]
Leite die ersten paar mal ab, bis Du ein Bildungsgesetz erkennst.
[mm]\begin{array}{l}
f(x)\; = \;\sin ^2 \;x\; = \;\frac{{1\; - \;\cos \;2x}}{2} \\
f'(x)\; = \;2\;\sin \;x\;\cos \;x\; = \;\sin \;2x \\
f''(x)\; = \;2\;\cos \;2x \\
f^{3} (x)\; = \; - 4\;\sin \;2x \\
f^{4} (x)\; = \; - \;8\;\cos \;2x \\
f^{5} (x)\; = \;16\;\sin \;2x \\
\end{array}[/mm]
Gruß
MathePower
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ich kann das leider hier nicht, denn mann hat immer "doppelte" abwechselung von + und- (++--++--++--) und nicht wie es normal immer ist(+-+-+-+-+-)!!!
Wie machtman es hier, hilf mir bitte!
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Hallo johann,
> ich kann das leider hier nicht, denn mann hat immer
> "doppelte" abwechselung von + und- (++--++--++--) und nicht
> wie es normal immer ist(+-+-+-+-+-)!!!
[mm]\begin{array}{l}
f'(x)\; = \;2\;\sin \;x\;\cos \;x\; = \;\sin \;2x \\
f''(x)\; = \;2\;\cos \;2x \\
f^{3} (x)\; = \; - 4\;\sin \;2x \\
f^{4} (x)\; = \; - \;8\;\cos \;2x \\
f^{5} (x)\; = \;16\;\sin \;2x \\
\end{array}[/mm]
Offensichtlich gelten hier folgende Bildungsgesetze für die Ableitungen:
[mm]\begin{array}{l}
f^{2k} (x)\; = \;2\;\left( { - 1} \right)^{k-1} \;4^{k - 1} \;\cos \;2x,\;k\; \in \;\IN \\
f^{2k + 1} (x)\; = \;\left( { - 1} \right)^k \;4^k \;\sin \;2x,\;k\; \in \;\IN_{0} \\
\end{array}[/mm]
Wie kommt man darauf?
Betrachte hier [mm]f'(x)[/mm] und [mm]f^{3}(x)[/mm]
Es gilt dann: [mm]f^{3} (x)\; = \; - 4\;f'(x)[/mm]
Dasselbe gilt dann auch für [mm]f^{5}(x)[/mm] und [mm]f^{3}(x)[/mm]:
Es gilt also: [mm]f^{5} (x)\; = \; - 4\;f^{3}(x)[/mm]
D.h. Das Bildungsgesetz lautet hier: [mm]f^{2k + 1} (x)\; = \;\left( { - 4} \right)^{k} \;\sin \;2x,\;k\; \in \IN_{0} [/mm]
Für die geraden Ableitungen gilt etwas analoges:
[mm]\begin{array}{l}
f^{4} (x)\; = \;\left( { - 4} \right)f''(x)\; = \;\left( { - 4} \right)\;2\;\cos \;2x \\
f^{6} (x)\; = \;\left( { - 4} \right)f^{4} (x)\; = \;\left( { - 4} \right)^2 \;2\;\cos \;2x \\
\end{array}[/mm]
Demzufolge gilt hier folgendes Bildungsgesetz:
[mm]f^{2k} (x)\; = \;2\;\left( { - 1} \right)^{k-1} \;4^{k - 1} \;\cos \;2x,\;k\; \in \IN[/mm]
Gruß
MathePower
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