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Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 Fr 06.04.2012
Autor: Lu-

Aufgabe
Bestimme die Taylorreihe von [mm] \frac{x^2}{x-3} [/mm] bei [mm] x_0=0 [/mm]

f(x)= [mm] \frac{x^2}{x-3} [/mm]
f'(x)= [mm] \frac{2x*(x-3)-x^2}{(x-3)^2} [/mm]
f''(x) = [mm] \frac{(2x-6)*(x-3) - (2x^2-6-x^2)*2}{(x-3)^3} [/mm]

Wie erkennt man da für die [mm] f^{(k)} [/mm] Ableitung ein Muster für den Zähler?
Hab mir einige Ableitungen von einen programm ausrechnen lassen, erkenne aber trotzdem keine Regelmäßigkeit,kann das vorkommen?

LG

        
Bezug
Taylorreihe: x-Wert einsetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 Fr 06.04.2012
Autor: Loddar

Hallo Lu-!


Setze doch mal jeweils den Wert [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ ein.


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:39 Fr 06.04.2012
Autor: donquijote


> Bestimme die Taylorreihe von [mm]\frac{x^2}{x-3}[/mm] bei [mm]x_0=0[/mm]
>  f(x)= [mm]\frac{x^2}{x-3}[/mm]
>  f'(x)= [mm]\frac{2x*(x-3)-x^2}{(x-3)^2}[/mm]
>  f''(x) = [mm]\frac{(2x-6)*(x-3) - (2x^2-6-x^2)*2}{(x-3)^3}[/mm]

Da brauchst du keine Ableitungen auszurechnen. [mm] \frac{1}{x-3} [/mm] lässt sich auf die geometrische Reihe zurückführen, und dann musst du nur noch mit [mm] x^2 [/mm] multiplizieren.

>  
> Wie erkennt man da für die [mm]f^{(k)}[/mm] Ableitung ein Muster
> für den Zähler?
>  Hab mir einige Ableitungen von einen programm ausrechnen
> lassen, erkenne aber trotzdem keine Regelmäßigkeit,kann
> das vorkommen?
>  
> LG


Bezug
                
Bezug
Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:16 Sa 07.04.2012
Autor: Lu-

Aber das hat doch dann trotzdem nicht die Form der Summe einer geometrischen Reihe

[mm] \frac{1}{1-q} [/mm]
Da fehlt die 1-

Bezug
                        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:19 Sa 07.04.2012
Autor: fred97

[mm] x-3=-3(1-\bruch{x}{3}) [/mm]

FRED

Bezug
                                
Bezug
Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:31 Sa 07.04.2012
Autor: Lu-

Dann hätte ich
[mm] -\frac{1}{3} [/mm] * [mm] \frac{1}{\frac{1-x/3}{x^2}} [/mm] = [mm] -\frac{x^2}{3} [/mm] * [mm] \frac{1}{1-x/3} [/mm]

[mm] -\frac{x^2 }{3} [/mm] * [mm] \sum_{k=0}^\infty (\frac{x}{3})^k [/mm]
Mich stört das [mm] x^2 [/mm] außerhalb der SUmme. Hab ich da wa falsch gemacht oder kann man umformen?

Bezug
                                        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:35 Sa 07.04.2012
Autor: donquijote


> Dann hätte ich
>  [mm]-\frac{1}{3}[/mm] * [mm]\frac{1}{\frac{1-x/3}{x^2}}[/mm] =
> [mm]-\frac{x^2}{3}[/mm] * [mm]\frac{1}{1-x/3}[/mm]
>  
> [mm]-\frac{x^2 }{3}[/mm] * [mm]\sum_{k=0}^\infty (\frac{x}{3})^k[/mm]

[mm] =\sum_{k=0}^\infty -\frac{x^{k+2}}{3^{k+1}}=\sum_{j=2}^\infty -\frac{x^{j}}{3^{j-1}} [/mm]

>  Mich
> stört das [mm]x^2[/mm] außerhalb der SUmme. Hab ich da wa falsch
> gemacht oder kann man umformen?


Bezug
                                                
Bezug
Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 Sa 07.04.2012
Autor: Lu-

Hallo,
danke
$ [mm] =\sum_{k=0}^\infty -\frac{x^{k+2}}{3^{k+1}}=\sum_{j=2}^\infty -\frac{x^{j}}{3^{j-1}} [/mm] $

Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die Reihe?
Für |x| < 1 da es eine geometrische Reihe darstellt.
Passt die ANtwort?

Bezug
                                                        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:24 Sa 07.04.2012
Autor: donquijote


> Hallo,
>  danke
>  [mm]=\sum_{k=0}^\infty -\frac{x^{k+2}}{3^{k+1}}=\sum_{j=2}^\infty -\frac{x^{j}}{3^{j-1}}[/mm]
>  
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] konvergiert die Reihe?
>  Für |x| < 1 da es eine geometrische Reihe darstellt.
>  Passt die ANtwort?

Nein.
Du hast die geometrische Reihe für q=x/3 benutzt, d.h. die Reihe konvergiert für [mm] |x/3|<1\Leftrightarrow [/mm] |x|<3. Damit ist der Konvergenzradius 3.

Bezug
                                                                
Bezug
Taylorreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:06 Sa 07.04.2012
Autor: Lu-

danke ist klar.
lg

Bezug
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