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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Taylorreihe
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Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Mi 30.05.2012
Autor: MaxPlanck

Hallo Leute, habe mal wieder eine Frage zu Reihenentwicklungen. Ich soll die Taylorreihe von [mm] \[\bruch{1}{z^{2}-7z+12}\] [/mm] um [mm] \[z_{0}=0\] [/mm] finden. Ich habe diese Funktion zuerst in Partialbrüche zerlegt:
[mm] \[\bruch{1}{z-4}-\bruch{1}{z-3}\] [/mm]
und habe nun die Reihen dieser beiden Partiabrüche bestimmt:
[mm] \[\bruch{1}{z-4}=-1/4-z/16-z^{2}/64...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)4^{-1-n}z^{n}\] [/mm]
und [mm] \[\bruch{1}{z-3}=-1/3-z/9-z^{2}/27...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)3^{-1-n}z^{n}\] [/mm]
Insgesamt ist die Taylorreihe dann
[mm] \[-7/12-25z/144-91z^{2}/1728...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)(12^{-1-n}(3^{n+1}+4^{n+1}))z^{n}\] [/mm]
Stimmt das soweit?

        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Mi 30.05.2012
Autor: MathePower

Hallo MaxPlanck,

> Hallo Leute, habe mal wieder eine Frage zu
> Reihenentwicklungen. Ich soll die Taylorreihe von
> [mm]\[\bruch{1}{z^{2}-7z+12}\][/mm] um [mm]\[z_{0}=0\][/mm] finden. Ich habe
> diese Funktion zuerst in Partialbrüche zerlegt:
>  [mm]\[\bruch{1}{z-4}-\bruch{1}{z-3}\][/mm]
>  und habe nun die Reihen dieser beiden Partiabrüche
> bestimmt:
>  
> [mm]\[\bruch{1}{z-4}=-1/4-z/16-z^{2}/64...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)4^{-1-n}z^{n}\][/mm]
>  und
> [mm]\[\bruch{1}{z-3}=-1/3-z/9-z^{2}/27...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)3^{-1-n}z^{n}\][/mm]
>  Insgesamt ist die Taylorreihe dann
> [mm]\[-7/12-25z/144-91z^{2}/1728...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)(12^{-1-n}(3^{n+1}+4^{n+1}))z^{n}\][/mm]
>  Stimmt das soweit?


Ja, das stimmt soweit.


Gruss
MathePower

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Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 Mi 30.05.2012
Autor: MaxPlanck

Ok, und wie bestimmen ich den Konvergenzradius. Ich meine, ich kenne die Formel, aber aus irgenweinem Grund kann ich sie nicht richtig anwenden. Es ist klar, das der Konvergenzradius 3 ist, das genau der Kreis im Analytizitätsgebiet ist, aber ich brauche auch eine Rechnung.

Bezug
                        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 Mi 30.05.2012
Autor: MathePower

Hallo MaxPlanck,

> Ok, und wie bestimmen ich den Konvergenzradius. Ich meine,
> ich kenne die Formel, aber aus irgenweinem Grund kann ich
> sie nicht richtig anwenden. Es ist klar, das der
> Konvergenzradius 3 ist, das genau der Kreis im
> Analytizitätsgebiet ist, aber ich brauche auch eine
> Rechnung.  


Den Konvergenzradius kannst Du hier z.B.
mit Hilfe des Quotientenkriteriums berechnen.

Bilde dazu den Quotient zweier aufeinanderfolgende Reihenglieder.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
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Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:35 Mi 30.05.2012
Autor: MaxPlanck

Das habe ich gemacht:
[mm] \[\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)12^{-1-n}(3^{n+1}+4^{n+1})}{(-1)12^{-n}(3^{n+2}+4^{n+2})}\] [/mm]
[mm] \[\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(3^{n+1}+4^{n+1})}{12(3^{n+2}+4^{n+2})}\] [/mm]
Und wenn ich jetzt den Limes auswerte, kommt 1/48 raus. Hmmm. Wo ist der Fehler?


Bezug
                                        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:00 Mi 30.05.2012
Autor: MathePower

Hallo MaxPlanck,


> Das habe ich gemacht:
> [mm]\[\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)12^{-1-n}(3^{n+1}+4^{n+1})}{(-1)12^{-n}(3^{n+2}+4^{n+2})}\][/mm]
>  
> [mm]\[\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(3^{n+1}+4^{n+1})}{12(3^{n+2}+4^{n+2})}\][/mm]
>  Und wenn ich jetzt den Limes auswerte, kommt 1/48 raus.
> Hmmm. Wo ist der Fehler?
>  


Der zu untersuchende Ausdruck muss doch lauten:

[mm]\[\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)12^{-1-n}(3^{n+1}+4^{n+1})}{(-1)12^{-\red{2}-n}(3^{n+2}+4^{n+2})}\][/mm]


Dann steht hier:

[mm] \[\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12*(3^{n+1}+4^{n+1})}{(3^{n+2}+4^{n+2})}\] [/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
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Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 Mi 30.05.2012
Autor: MaxPlanck

Aha. Das sehe ich noch nicht ganz. Für [mm] \[a_{n}\] [/mm] ist ja [mm] \[12^{-1-n}\], [/mm] als für [mm] \[a_{n+1}\] [/mm] dementsprechend [mm] \[12^{-1-n+1}=12^{-n}\]? [/mm] Aber ja, dann stimmt das Ergebnis.

Bezug
                                                        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:05 Mi 30.05.2012
Autor: MathePower

Hallo MaxPlanck,



> Aha. Das sehe ich noch nicht ganz. Für [mm]\[a_{n}\][/mm] ist ja
> [mm]\[12^{-1-n}\],[/mm] als für [mm]\[a_{n+1}\][/mm] dementsprechend
> [mm]\[12^{-1-n+1}=12^{-n}\]?[/mm] Aber ja, dann stimmt das Ergebnis.


Hier sind die Klammern um n+1 zu setzen, vergessen worden:

[mm]12^{-1-\left(n+1\right)}=12^{-1-n-1}=12^{-2-n}[/mm]


Gruss
MathePower

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Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:24 Do 31.05.2012
Autor: fred97

Die von Dir ermittele Reihendarstellung von [mm] \bruch{1}{z-4} [/mm] konvergiert für |z|<4

Die von Dir ermittele Reihendarstellung von [mm] \bruch{1}{z-3} [/mm] konvergiert für |z|<3

Damit ist der gesuchte Konvergenzradius = 3

FRED

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